Folgerungen aus den Axiomen
Bei welchem Ereignis ist die Wahrscheinlichkeit 0?
Erklärung: Eine Zahl größer als 6 kommt nicht vor, das Ereignis ist ∅ mit P(∅) = 0. Die Summe 12 ist möglich (6 und 6) mit P = 1/36; die Zahl 6 hat P = 1/6.
Beim Werfen eines Würfels hat das Ereignis „Augenzahl 7“ die Wahrscheinlichkeit 0.
Erklärung: „Augenzahl 7“ ist die leere Menge. Aus Axiom 3 folgt P(∅) = 0, denn Ω und ∅ sind unvereinbar und P(Ω) = P(Ω ∪ ∅) = P(Ω) + P(∅).
Eine Urne enthält nur rote Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine blaue zu ziehen?
Erklärung: Das Ereignis „blau“ ist die leere Menge, also ist seine Wahrscheinlichkeit P(∅) = 0.
Beim Würfeln sei A: „gerade Zahl“ und B: „ungerade Zahl“. Wie groß ist P(A ∩ B)?
Erklärung: Keine Augenzahl ist gerade und ungerade zugleich, A ∩ B = ∅. Also P(A ∩ B) = 0 – und P(A ∪ B) = 1/2 + 1/2 = 1.
Es gilt P(A) = 0,35. Wie groß ist P(Ā)?
Erklärung: A und Ā ergeben zusammen Ω: P(Ā) = 1 − 0,35 = 0,65. Der Wert −0,35 wäre negativ; 0,35 gilt für A selbst.
Beim Glücksrad im Bild ist die Wahrscheinlichkeit jeder Farbe angegeben. Wie groß ist P(nicht Blau)?
Erklärung: P(nicht Blau) = 1 − P(Blau) = 1 − 0,3 = 0,7. Auch 0,2 + 0,5 = 0,7. Die 0,5 ist nur die Wahrscheinlichkeit von Grün.
Es gilt P(A) = 0,72. Berechne P(Ä€).
Erklärung: P(Ā) = 1 − 0,72 = 0,28.
Bei zwei Würfen eines fairen Würfels ist die Wahrscheinlichkeit für „keine Sechs“ gleich 25/36. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für „mindestens eine Sechs“? (auf drei Dezimalen)
Erklärung: „Mindestens eine Sechs“ ist das Gegenereignis von „keine Sechs“: 1 − 25/36 = 11/36 ≈ 0,306.
Leite aus den Axiomen her, dass P(Ā) = 1 − P(A) gilt. Wende die Formel danach an: Ein fairer Würfel wird dreimal geworfen, die Wahrscheinlichkeit für „keine Sechs“ ist (5/6)³. Berechne die Wahrscheinlichkeit für „mindestens eine Sechs“.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Die Herleitung nutzt nur Axiom 2 und 3 und die Zerlegung von Ω in A und Ā. Für drei Würfe: 1 − (5/6)³ = 1 − 125/216 = 91/216 ≈ 0,421.
Im Bild stehen die Wahrscheinlichkeiten der vier Bereiche. Wie groß ist P(A ∪ B)?
Erklärung: A ∪ B besteht aus den drei Bereichen mit A oder B: 0,30 + 0,20 + 0,25 = 0,75. Die Summe P(A) + P(B) = 0,50 + 0,45 = 0,95 zählt den Schnitt 0,20 doppelt; 0,20 ist nur der Schnitt.
Es gilt P(A) = 0,5, P(B) = 0,3 und P(A ∪ B) = 0,8. Dann ist P(A ∩ B) = 0.
Erklärung: Aus P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) folgt 0,8 = 0,5 + 0,3 − P(A ∩ B), also P(A ∩ B) = 0. In diesem Fall wird kein Ergebnis doppelt gezählt.
Es gilt P(A) = 0,6, P(B) = 0,3 und P(A ∩ B) = 0,1. Berechne P(A ∪ B).
Erklärung: P(A ∪ B) = 0,6 + 0,3 − 0,1 = 0,8.
Aus einem Skatblatt mit 32 Karten wird eine zufällig gezogen. A: „Herz“ (8 Karten), B: „Bube“ (4 Karten). Wie groß ist P(A ∪ B)? (auf drei Dezimalen)
Erklärung: Der Herz-Bube liegt in A und B: P(A ∩ B) = 1/32. P(A ∪ B) = 8/32 + 4/32 − 1/32 = 11/32 ≈ 0,344.
Es gilt P(A) = 0,5, P(B) = 0,6 und P(A ∪ B) = 0,8. Berechne P(A ∩ B).
Erklärung: Die Formel umgestellt: P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B) = 0,5 + 0,6 − 0,8 = 0,3.
Im Bild liegt A ganz in B, und es gilt P(B) = 0,6. Welcher Wert kann P(A) nicht sein?
Erklärung: Ein Teilereignis hat höchstens die Wahrscheinlichkeit des größeren: P(A) ≤ 0,6. Der Wert 0,6 ist möglich (wenn B ∖ A die Wahrscheinlichkeit 0 hat), 0,7 nicht.
Beim Würfeln ist „Augenzahl 6“ wahrscheinlicher als „gerade Zahl“.
Erklärung: {6} ist Teilmenge von {2, 4, 6}. Also ist P(6) = 1/6 kleiner als P(gerade) = 1/2.
Es gilt A ⊆ B, P(B) = 0,45 und P(B ∖ A) = 0,15. Berechne P(A).
Erklärung: B besteht aus A und B ∖ A (unvereinbar): P(B) = P(A) + P(B ∖ A), also P(A) = 0,45 − 0,15 = 0,3.
Eine Zahl aus 1 bis 20 wird zufällig gewählt. A: „durch 6 teilbar“ (6, 12, 18), B: „durch 3 teilbar“ (3, 6, 9, 12, 15, 18). Es ist A ⊆ B. Wie groß ist P(B ∖ A)?
Erklärung: B ∖ A = {3, 9, 15} hat 3 Elemente: P = 3/20 = 0,15. Kontrolle: P(B) − P(A) = 6/20 − 3/20 = 0,15.