Folgerungen aus den Axiomen

Consequences of the axioms

Mathematik Klasse 12 18 Aufgaben

WahrscheinlichkeitStochastikAxiome von Kolmogorow

Aus den Axiomen folgen P(∅) = 0, P(Ā) = 1 − P(A) mit 0 ≤ P(A) ≤ 1, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) und A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B). Jede Regel wird hergeleitet, nicht als Formel gelernt: Zerlegen in unvereinbare Teile, dann Axiom 3. Räumt Fehler aus wie P(Ā) = −P(A), das Vergessen des Schnitts und die Annahme, ein Teilereignis könne wahrscheinlicher sein. Bereitet die Ereignisse {X = k} und die kumulative Verteilung vor.

Alle weiteren Rechenregeln folgen aus den drei Axiomen. Man muss sie nicht auswendig lernen, man kann sie herleiten.

Das unmögliche Ereignis. $Ω$ und $\emptyset$ sind unvereinbar und $Ω \cup \emptyset = Ω$ . Axiom 3 gibt $P (Ω) = P (Ω) + P (\emptyset)$ , also $P (\emptyset) = 0$ . Unmögliche Ereignisse haben also die Wahrscheinlichkeit 0.

Das Gegenereignis. A und Ā sind unvereinbar und zusammen $Ω$ : $1 = P (A) + P (\overline{A})$ . Also $P (\overline{A}) = 1 - P (A)$ , und weil $P (\overline{A}) \geq 0$ ist, gilt $P (A) \leq 1$ . Aus 0,3 Regenwahrscheinlichkeit folgt so 0,7 für „kein Regen“.

Die Vereinigung. Überlappen sich A und B, zählt $P (A) + P (B)$ den Schnitt doppelt:

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

Beispiel: In einer Klasse spielen 60 % Fußball, 40 % Basketball und 25 % beides. Dann spielen 60 + 40 − 25 = 75 % mindestens eine der beiden Sportarten. Ohne den Abzug kämen 100 % heraus, und das wäre falsch.

Ziehe die Regler für A, B und A ∩ B. Wie ändert sich P(A ∪ B), wenn der Schnitt wächst?

Die Teilmenge. Liegt $A$ ganz in $B$ , ist $B$ die Vereinigung von $A$ und dem Rest $B ∖ A$ . Daraus folgt $P (B) = P (A) + P (B ∖ A) \geq P (A)$ .

Voraussetzungen (1)

Die drei Axiome

Klasse 12

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Bei welchem Ereignis ist die Wahrscheinlichkeit 0?

● Ein Würfel zeigt eine Zahl größer als 6
○ Zwei Würfel zeigen zusammen 12
○ Ein Würfel zeigt die Zahl 6

Eine Zahl größer als 6 kommt nicht vor, das Ereignis ist ∅ mit P(∅) = 0. Die Summe 12 ist möglich (6 und 6) mit P = 1/36; die Zahl 6 hat P = 1/6.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Beim Werfen eines Würfels hat das Ereignis „Augenzahl 7“ die Wahrscheinlichkeit 0.

✓ Wahr

„Augenzahl 7“ ist die leere Menge. Aus Axiom 3 folgt P(∅) = 0, denn Ω und ∅ sind unvereinbar und P(Ω) = P(Ω ∪ ∅) = P(Ω) + P(∅).

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Es gilt P(A) = 0,35. Wie groß ist P(Ā)?

● 0,65
○ −0,35
○ 0,35

A und Ā ergeben zusammen Ω: P(Ā) = 1 − 0,35 = 0,65. Der Wert −0,35 wäre negativ; 0,35 gilt für A selbst.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Beim Glücksrad im Bild ist die Wahrscheinlichkeit jeder Farbe angegeben. Wie groß ist P(nicht Blau)?

● 0,7
○ 0,3
○ 0,5

P(nicht Blau) = 1 − P(Blau) = 1 − 0,3 = 0,7. Auch 0,2 + 0,5 = 0,7. Die 0,5 ist nur die Wahrscheinlichkeit von Grün.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Im Bild stehen die Wahrscheinlichkeiten der vier Bereiche. Wie groß ist P(A ∪ B)?

● 0,75
○ 0,95
○ 0,20

A ∪ B besteht aus den drei Bereichen mit A oder B: 0,30 + 0,20 + 0,25 = 0,75. Die Summe P(A) + P(B) = 0,50 + 0,45 = 0,95 zählt den Schnitt 0,20 doppelt; 0,20 ist nur der Schnitt.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Es gilt P(A) = 0,5, P(B) = 0,3 und P(A ∪ B) = 0,8. Dann ist P(A ∩ B) = 0.

✓ Wahr

Aus P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) folgt 0,8 = 0,5 + 0,3 − P(A ∩ B), also P(A ∩ B) = 0. In diesem Fall wird kein Ergebnis doppelt gezählt.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Im Bild liegt A ganz in B, und es gilt P(B) = 0,6. Welcher Wert kann P(A) nicht sein?

● 0,7
○ 0,5
○ 0,6

Ein Teilereignis hat höchstens die Wahrscheinlichkeit des größeren: P(A) ≤ 0,6. Der Wert 0,6 ist möglich (wenn B ∖ A die Wahrscheinlichkeit 0 hat), 0,7 nicht.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Beim Würfeln ist „Augenzahl 6“ wahrscheinlicher als „gerade Zahl“.

✓ Falsch

{6} ist Teilmenge von {2, 4, 6}. Also ist P(6) = 1/6 kleiner als P(gerade) = 1/2.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Eine Urne enthält nur rote Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine blaue zu ziehen?

✓ Antwort: 0

Das Ereignis „blau“ ist die leere Menge, also ist seine Wahrscheinlichkeit P(∅) = 0.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Es gilt P(A) = 0,72. Berechne P(Ā).

✓ Antwort: 0.28

P(Ā) = 1 − 0,72 = 0,28.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Es gilt P(A) = 0,6, P(B) = 0,3 und P(A ∩ B) = 0,1. Berechne P(A ∪ B).

✓ Antwort: 0.8

P(A ∪ B) = 0,6 + 0,3 − 0,1 = 0,8.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Es gilt A ⊆ B, P(B) = 0,45 und P(B ∖ A) = 0,15. Berechne P(A).

✓ Antwort: 0.3

B besteht aus A und B ∖ A (unvereinbar): P(B) = P(A) + P(B ∖ A), also P(A) = 0,45 − 0,15 = 0,3.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Beim Würfeln sei A: „gerade Zahl“ und B: „ungerade Zahl“. Wie groß ist P(A ∩ B)?

✓ Antwort: 0

Keine Augenzahl ist gerade und ungerade zugleich, A ∩ B = ∅. Also P(A ∩ B) = 0 – und P(A ∪ B) = 1/2 + 1/2 = 1.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Bei zwei Würfen eines fairen Würfels ist die Wahrscheinlichkeit für „keine Sechs“ gleich 25/36. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für „mindestens eine Sechs“? (auf drei Dezimalen)

✓ Antwort: 0.306

„Mindestens eine Sechs“ ist das Gegenereignis von „keine Sechs“: 1 − 25/36 = 11/36 ≈ 0,306.

KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Leite aus den Axiomen her, dass P(Ā) = 1 − P(A) gilt. Wende die Formel danach an: Ein fairer Würfel wird dreimal geworfen, die Wahrscheinlichkeit für „keine Sechs“ ist (5/6)³. Berechne die Wahrscheinlichkeit für „mindestens eine Sechs“. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: A und Ā sind unvereinbar (A ∩ Ā = ∅) und A ∪ Ā = Ω. Axiom 3 und 2: P(A) + P(Ā) = P(Ω) = 1, also P(Ā) = 1 − P(A). Anwendung: P(keine Sechs) = (5/6)³ = 125/216, also P(mindestens eine Sechs) = 1 − 125/216 = 91/216 ≈ 0,421.

Die Herleitung nutzt nur Axiom 2 und 3 und die Zerlegung von Ω in A und Ā. Für drei Würfe: 1 − (5/6)³ = 1 − 125/216 = 91/216 ≈ 0,421.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Aus einem Skatblatt mit 32 Karten wird eine zufällig gezogen. A: „Herz“ (8 Karten), B: „Bube“ (4 Karten). Wie groß ist P(A ∪ B)? (auf drei Dezimalen)

✓ Antwort: 0.344

Der Herz-Bube liegt in A und B: P(A ∩ B) = 1/32. P(A ∪ B) = 8/32 + 4/32 − 1/32 = 11/32 ≈ 0,344.

Zahleneingabe #5 30s ▶ Testen

Es gilt P(A) = 0,5, P(B) = 0,6 und P(A ∪ B) = 0,8. Berechne P(A ∩ B).

✓ Antwort: 0.3

Die Formel umgestellt: P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B) = 0,5 + 0,6 − 0,8 = 0,3.

Zahleneingabe #6 30s ▶ Testen

Eine Zahl aus 1 bis 20 wird zufällig gewählt. A: „durch 6 teilbar“ (6, 12, 18), B: „durch 3 teilbar“ (3, 6, 9, 12, 15, 18). Es ist A ⊆ B. Wie groß ist P(B ∖ A)?

✓ Antwort: 0.15

B ∖ A = {3, 9, 15} hat 3 Elemente: P = 3/20 = 0,15. Kontrolle: P(B) − P(A) = 6/20 − 3/20 = 0,15.