Kumulative Verteilung
Zwei Würfel werden geworfen, X ist die Augensumme. Welcher Ausdruck ist F(5) = P(X ≤ 5)?
Erklärung: F(5) addiert alle Einzelwahrscheinlichkeiten bis einschließlich 5: 1/36 + 2/36 + 3/36 + 4/36 = 10/36. P(X = 5) ist nur die eine Säule; die Summe bis 4 gehört zu P(X < 5).
Zwei Würfel, X ist die Augensumme. Es gilt P(X < 5) = F(4).
Erklärung: „Kleiner als 5“ bedeutet höchstens 4, die 5 ist nicht dabei: P(X < 5) = P(X ≤ 4) = F(4) = 6/36.
Die Treppe zeigt F für die Anzahl X der Wappen bei drei Münzwürfen. Wie groß ist F(1)?
Erklärung: F(1) = P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 1/8 + 3/8 = 0,5. Der Wert 0,375 ist nur P(X = 1), 0,125 ist F(0).
Drei Münzwürfe, X ist die Anzahl der Wappen. Berechne F(2) = P(X ≤ 2) (Dezimalzahl).
Erklärung: F(2) = 1/8 + 3/8 + 3/8 = 7/8 = 0,875. Über das Gegenereignis: 1 − P(X = 3) = 1 − 1/8.
Das Diagramm zeigt die Verteilung der Auszahlung X des Glücksrads. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 5 € ausgezahlt werden?
Erklärung: Höchstens 5 € heißt X ≤ 5: F(5) = 0,55 + 0,25 + 0,15 = 0,95. Kürzer über das Gegenereignis: 1 − P(X = 10) = 0,95.
Zwei Würfel, X ist die Augensumme, und es gilt F(9) = 30/36. Wie groß ist P(X > 9)?
Erklärung: X > 9 ist das Gegenereignis zu X ≤ 9: P(X > 9) = 1 − F(9) = 6/36. Der Wert 30/36 ist F(9) selbst; 3/36 wäre P(X > 10).
Zwei Würfel, X ist die Augensumme. Es gilt P(4 < X ≤ 8) = F(8) − F(3).
Erklärung: Bei 4 hört man auf zu zählen, die 4 selbst gehört nicht mehr dazu: P(4 < X ≤ 8) = F(8) − F(4) = 20/36. Mit F(3) würde man die Summe 4 mitzählen (23/36).
Für die Augensumme X gilt F(3) = 3/36, F(4) = 6/36, F(8) = 26/36 und F(9) = 30/36. Wie groß ist P(4 < X ≤ 8)?
Erklärung: P(4 < X ≤ 8) = F(8) − F(4) = 26/36 − 6/36 = 20/36. Mit F(3) würde man die Summe 4 mitzählen (23/36); 26/36 ist F(8) allein.
Für die Auszahlung X des Glücksrads gilt F(0) = 0,55 und F(1) = 0,8. Wie groß ist P(0 < X ≤ 1)?
Erklärung: P(0 < X ≤ 1) = F(1) − F(0) = 0,8 − 0,55 = 0,25. Das ist genau P(X = 1).
Zwei Würfel, X ist die Augensumme; es gilt F(7) = 21/36. Wie groß ist P(X ≥ 8)? (auf drei Dezimalen)
Erklärung: „Mindestens 8“ ist das Gegenereignis zu „höchstens 7“: P(X ≥ 8) = 1 − F(7) = 15/36 ≈ 0,417.
Eine Münze wird viermal geworfen, X ist die Anzahl der Wappen. Stelle die Verteilung von X auf und bestimme F(0), F(1), F(2), F(3), F(4). Berechne mit F die Wahrscheinlichkeiten P(1 < X ≤ 3) und P(X ≥ 2).
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Die Anzahl der Pfade mit k Wappen ist 1, 4, 6, 4, 1 von 16. F(3) − F(1) zählt die Werte 2 und 3; 1 − F(1) zählt die Werte 2, 3 und 4.
Die Treppe zeigt F einer Zufallsgröße X. Bei welchem Wert x ist P(X = x) am größten?
Erklärung: P(X = x) ist die Sprunghöhe bei x. Der höchste Sprung ist bei 3 (von 0,3 auf 0,8, also 0,5). Bei 4 endet die Treppe bei 1, aber der Sprung ist nur 0,2.
Für eine Zufallsgröße X sind F(2) = 0,6 und F(3) = 0,5 möglich.
Erklärung: F(x) = P(X ≤ x) sammelt immer mehr Wahrscheinlichkeit: Von 2 nach 3 kommt P(X = 3) ≥ 0 hinzu, F kann also nicht von 0,6 auf 0,5 fallen. Diese Werte sind für keine Zufallsgröße möglich.
Die Augensumme X zweier Würfel hat die Werte 2 bis 12. Welchen Wert hat F(x) für x ≥ 12, also rechts von der letzten Stufe?
Erklärung: Für x ≥ 12 sind alle Ergebnisse eingeschlossen: F(x) = P(X ≤ x) = 1. Die Treppe endet bei 1. 1/36 ist der letzte Sprung, 0 wäre der Wert links der ersten Stufe.
Wie groß ist P(X = 2) bei der Zufallsgröße der Treppe? Lies den Sprung bei x = 2 ab.
Erklärung: Bei x = 2 springt F von 0,1 auf 0,3, also um 0,2 = P(X = 2).
Für eine Zufallsgröße gilt F(3) = 0,8 und F(2) = 0,3. Wie groß ist P(X = 3)?
Erklärung: Der Sprung von F bei 3 ist P(X = 3) = F(3) − F(2) = 0,8 − 0,3 = 0,5.