Kumulative Verteilung

Cumulative distribution

Mathematik Klasse 12 16 Aufgaben
WahrscheinlichkeitStochastikZufallsgrößeWahrscheinlichkeitsverteilung

F(k) = P(X ≤ k) addiert die Einzelwahrscheinlichkeiten bis k; daraus folgen P(X > k) = 1 − F(k) und P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a). Der Graph von F ist eine Treppe mit Sprüngen der Höhe P(X = k). Räumt die typischen Verwechslungen aus: F(k) mit P(X = k), „höchstens“ mit „weniger als“, und die Verschiebung um eins bei F(b) − F(a − 1). Bereitet „höchstens“ und „mindestens“ bei der Binomialverteilung vor.

Höchstens k

Oft fragt man nicht nach genau , sondern nach höchstens . Die kumulative Verteilungsfunktion addiert die Einzelwahrscheinlichkeiten bis :

Bei zwei Würfeln mit der Augensumme ist . „Höchstens 4“ schließt die 4 ein, „weniger als 4“ nicht: . Beim Glücksrad ist : Mit Wahrscheinlichkeit 0,8 zahlt das Rad höchstens 1 € aus.

Verschiebe a. Welche Säulen zählen zu P(X ≤ a), und wie groß ist der Wert für a = 12?

Intervalle und Treppe

Aus folgt jede Intervallwahrscheinlichkeit: und . Zum Beispiel ist .

Der Graph von ist eine Treppe: Er springt nur an den Werten von , und zwar bei um . Eine Tabelle von genügt also, um jede Bereichswahrscheinlichkeit auszurechnen. Dazwischen bleibt er waagerecht, und rechts endet er bei 1. Bei der Augensumme 7 springt von 15/36 auf 21/36, also um 6/36 = .

Bei welchem x springt die Treppe am höchsten, und um wie viel?

Voraussetzungen (1)

Zufallsgröße und Verteilung
Klasse 12
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Zwei Würfel werden geworfen, X ist die Augensumme. Welcher Ausdruck ist F(5) = P(X ≤ 5)?

  • ● P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)
  • ○ P(X = 5)
  • ○ P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)
F(5) addiert alle Einzelwahrscheinlichkeiten bis einschließlich 5: 1/36 + 2/36 + 3/36 + 4/36 = 10/36. P(X = 5) ist nur die eine Säule; die Summe bis 4 gehört zu P(X < 5).
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Zwei Würfel, X ist die Augensumme. Es gilt P(X < 5) = F(4).

✓ Wahr
„Kleiner als 5“ bedeutet höchstens 4, die 5 ist nicht dabei: P(X < 5) = P(X ≤ 4) = F(4) = 6/36.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Die Treppe zeigt F für die Anzahl X der Wappen bei drei Münzwürfen. Wie groß ist F(1)?

  • ● 0,5
  • ○ 0,375
  • ○ 0,125
F(1) = P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 1/8 + 3/8 = 0,5. Der Wert 0,375 ist nur P(X = 1), 0,125 ist F(0).
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Zwei Würfel, X ist die Augensumme, und es gilt F(9) = 30/36. Wie groß ist P(X > 9)?

  • ● 6/36
  • ○ 30/36
  • ○ 3/36
X > 9 ist das Gegenereignis zu X ≤ 9: P(X > 9) = 1 − F(9) = 6/36. Der Wert 30/36 ist F(9) selbst; 3/36 wäre P(X > 10).
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Zwei Würfel, X ist die Augensumme. Es gilt P(4 < X ≤ 8) = F(8) − F(3).

✓ Falsch
Bei 4 hört man auf zu zählen, die 4 selbst gehört nicht mehr dazu: P(4 < X ≤ 8) = F(8) − F(4) = 20/36. Mit F(3) würde man die Summe 4 mitzählen (23/36).
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Für die Augensumme X gilt F(3) = 3/36, F(4) = 6/36, F(8) = 26/36 und F(9) = 30/36. Wie groß ist P(4 < X ≤ 8)?

  • ● 20/36
  • ○ 23/36
  • ○ 26/36
P(4 < X ≤ 8) = F(8) − F(4) = 26/36 − 6/36 = 20/36. Mit F(3) würde man die Summe 4 mitzählen (23/36); 26/36 ist F(8) allein.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Die Treppe zeigt F einer Zufallsgröße X. Bei welchem Wert x ist P(X = x) am größten?

  • ● 3
  • ○ 4
  • ○ 1
P(X = x) ist die Sprunghöhe bei x. Der höchste Sprung ist bei 3 (von 0,3 auf 0,8, also 0,5). Bei 4 endet die Treppe bei 1, aber der Sprung ist nur 0,2.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Für eine Zufallsgröße X sind F(2) = 0,6 und F(3) = 0,5 möglich.

✓ Falsch
F(x) = P(X ≤ x) sammelt immer mehr Wahrscheinlichkeit: Von 2 nach 3 kommt P(X = 3) ≥ 0 hinzu, F kann also nicht von 0,6 auf 0,5 fallen. Diese Werte sind für keine Zufallsgröße möglich.
Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Die Augensumme X zweier Würfel hat die Werte 2 bis 12. Welchen Wert hat F(x) für x ≥ 12, also rechts von der letzten Stufe?

  • ● 1
  • ○ 0
  • ○ 1/36
Für x ≥ 12 sind alle Ergebnisse eingeschlossen: F(x) = P(X ≤ x) = 1. Die Treppe endet bei 1. 1/36 ist der letzte Sprung, 0 wäre der Wert links der ersten Stufe.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Drei Münzwürfe, X ist die Anzahl der Wappen. Berechne F(2) = P(X ≤ 2) (Dezimalzahl).

✓ Antwort: 0.875
F(2) = 1/8 + 3/8 + 3/8 = 7/8 = 0,875. Über das Gegenereignis: 1 − P(X = 3) = 1 − 1/8.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Für die Auszahlung X des Glücksrads gilt F(0) = 0,55 und F(1) = 0,8. Wie groß ist P(0 < X ≤ 1)?

✓ Antwort: 0.25
P(0 < X ≤ 1) = F(1) − F(0) = 0,8 − 0,55 = 0,25. Das ist genau P(X = 1).
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Wie groß ist P(X = 2) bei der Zufallsgröße der Treppe? Lies den Sprung bei x = 2 ab.

✓ Antwort: 0.2
Bei x = 2 springt F von 0,1 auf 0,3, also um 0,2 = P(X = 2).
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Das Diagramm zeigt die Verteilung der Auszahlung X des Glücksrads. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 5 € ausgezahlt werden?

✓ Antwort: 0.95
Höchstens 5 € heißt X ≤ 5: F(5) = 0,55 + 0,25 + 0,15 = 0,95. Kürzer über das Gegenereignis: 1 − P(X = 10) = 0,95.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Zwei Würfel, X ist die Augensumme; es gilt F(7) = 21/36. Wie groß ist P(X ≥ 8)? (auf drei Dezimalen)

✓ Antwort: 0.417
„Mindestens 8“ ist das Gegenereignis zu „höchstens 7“: P(X ≥ 8) = 1 − F(7) = 15/36 ≈ 0,417.
KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Eine Münze wird viermal geworfen, X ist die Anzahl der Wappen. Stelle die Verteilung von X auf und bestimme F(0), F(1), F(2), F(3), F(4). Berechne mit F die Wahrscheinlichkeiten P(1 < X ≤ 3) und P(X ≥ 2). Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: P(X = 0, …, 4) = 1/16, 4/16, 6/16, 4/16, 1/16; F(0) = 1/16, F(1) = 5/16, F(2) = 11/16, F(3) = 15/16, F(4) = 1. P(1 < X ≤ 3) = F(3) − F(1) = 15/16 − 5/16 = 10/16 = 0,625; P(X ≥ 2) = 1 − F(1) = 11/16 = 0,6875.
Die Anzahl der Pfade mit k Wappen ist 1, 4, 6, 4, 1 von 16. F(3) − F(1) zählt die Werte 2 und 3; 1 − F(1) zählt die Werte 2, 3 und 4.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Für eine Zufallsgröße gilt F(3) = 0,8 und F(2) = 0,3. Wie groß ist P(X = 3)?

✓ Antwort: 0.5
Der Sprung von F bei 3 ist P(X = 3) = F(3) − F(2) = 0,8 − 0,3 = 0,5.