Varianz und Standardabweichung
X hat die Werte 0, 2 und 4 mit den Wahrscheinlichkeiten 0,25, 0,5 und 0,25; es ist μ = 2. Welche Rechnung ergibt Var(X)?
Erklärung: Jede Abweichung wird quadriert und mit ihrer Wahrscheinlichkeit gewichtet: die Summanden sind 1, 0 und 1, also Var(X) = 2. Ohne Quadrat ergibt die Summe immer 0, ohne Gewichte zählt jeder Wert gleich viel (hier 8).
Die Zufallsgröße im Bild hat μ = 3,2. Welcher Wert trägt in Var(X) = Σ (x − μ)² · P(X = x) den größten Summanden bei?
Erklärung: Summanden: x = 1: 2,2² · 0,4 ≈ 1,94; x = 3: 0,2² · 0,4 = 0,016; x = 8: 4,8² · 0,2 ≈ 4,61. Der weit entfernte Wert 8 dominiert, obwohl er nur die Wahrscheinlichkeit 0,2 hat.
Die Verteilung von X zeigt das Bild; es ist μ = 2. Berechne Var(X).
Erklärung: Var(X) = (0 − 2)² · 0,25 + 0 · 0,5 + (4 − 2)² · 0,25 = 1 + 0 + 1 = 2.
X ist die Augenzahl eines fairen Würfels (Bild), μ = 3,5. Berechne Var(X) auf drei Dezimalen.
Erklärung: Var(X) = (2,5² + 1,5² + 0,5² + 0,5² + 1,5² + 2,5²) · 1/6 = 17,5/6 = 35/12 ≈ 2,917.
Beim Glücksrad ist Var(X) = 6,75 €². Wie groß ist σ?
Erklärung: σ = √6,75 ≈ 2,60 €. Die Hälfte 3,38 wäre keine Wurzel, und das Quadrat 45,56 hat die Einheit €⁴.
Beim Glücksrad (Auszahlung in Euro) hat Var(X) = 6,75 die Einheit Euro.
Erklärung: Var(X) mittelt quadrierte Abweichungen, hat also die quadrierte Einheit: 6,75 €². Erst σ = √Var(X) ≈ 2,60 € hat wieder die Einheit von X.
Es gilt Var(X) = 6,56. Berechne σ auf zwei Dezimalen.
Erklärung: √6,56 ≈ 2,561, gerundet 2,56.
Für die Anzahl X der Wappen bei drei Münzwürfen ist Var(X) = 0,75. Wie groß ist σ? (auf zwei Dezimalen)
Erklärung: σ = √0,75 ≈ 0,866, gerundet 0,87. Eine Abweichung von etwa einem Wappen um E(X) = 1,5 ist also typisch.
Für X gilt E(X²) = 9 und E(X) = 1,5. Wie groß ist Var(X)?
Erklärung: Var(X) = E(X²) − E(X)² = 9 − 1,5² = 9 − 2,25 = 6,75. Bei 7,5 wurde E(X) nicht quadriert, bei 56,25 ist die Differenz 9 − 1,5 zusätzlich quadriert.
Die Verteilung im Bild hat E(X) = 2,6. Wie groß ist E(X²)?
Erklärung: E(X²) = 0² · 0,5 + 2² · 0,3 + 10² · 0,2 = 0 + 1,2 + 20 = 21,2. Der Wert 6,76 ist E(X)², und 14,44 = 21,2 − 6,76 ist Var(X).
Es gilt E(X²) = 16,8 und E(X) = 3,2. Berechne Var(X) mit dem Verschiebungssatz.
Erklärung: Var(X) = 16,8 − 3,2² = 16,8 − 10,24 = 6,56.
X ist die Anzahl der Wappen bei drei Münzwürfen (Bild), E(X) = 1,5. Berechne Var(X) mit dem Verschiebungssatz.
Erklärung: E(X²) = 0 · 1/8 + 1 · 3/8 + 4 · 3/8 + 9 · 1/8 = 24/8 = 3. Var(X) = 3 − 1,5² = 0,75.
X ist die Augenzahl eines fairen Würfels. Berechne μ = E(X). Berechne dann Var(X) auf zwei Wegen: (a) mit der Definition, (b) mit dem Verschiebungssatz E(X²) − μ². Gib zuletzt σ auf zwei Dezimalen an.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Beide Wege liefern 35/12. Beim Verschiebungssatz zuerst E(X²) = 91/6 ≈ 15,17 bilden, dann μ² = 12,25 abziehen; σ = √2,917 ≈ 1,71.
X und Y haben beide E = 5 (Bild). Wie groß sind σ(X) und σ(Y)?
Erklärung: X liegt mit 4 und 6 stets um 1 neben μ = 5: Var = 1, σ = 1. Y liegt mit 0 und 10 stets um 5 daneben: Var = 25, σ = 5. Gleicher Erwartungswert heißt nicht gleiche Streuung.
Ein Rad zahlt 2 € oder 4 € (je Wahrscheinlichkeit 0,5), ein anderes 0 € oder 6 € (je 0,5). Beide haben E = 3 €, also streuen ihre Auszahlungen gleich stark.
Erklärung: Gleicher Erwartungswert heißt nicht gleiche Streuung: Das erste Rad liegt stets um 1 € neben μ = 3 (σ = 1 €), das zweite stets um 3 € (σ = 3 €). Das zweite streut breiter, ist deshalb aber nicht „unfairer“.
Bei drei Münzwürfen ist X die Anzahl der Wappen mit E(X) = 1,5 und σ ≈ 0,87 (Bild). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X im Bereich μ ± σ liegt?
Erklärung: Der Bereich reicht von 1,5 − 0,87 = 0,63 bis 1,5 + 0,87 = 2,37 und enthält die Werte 1 und 2: P = 3/8 + 3/8 = 0,75.
Für die Auszahlung X des Glücksrads ist Var(X) = 6,75 €². Der Gewinn ist G = X − 2 (Einsatz 2 €). Wie groß ist Var(G)?
Erklärung: Eine Verschiebung um 2 ändert nur μ, nicht die Abstände zu μ: Var(X − 2) = Var(X) = 6,75 €².
X hat die Werte 3 und 7 mit je 0,5; Y hat die Werte 1 und 9 mit je 0,5. Um wie viel ist σ(Y) größer als σ(X)?
Erklärung: Beide haben μ = 5. σ(X) = √(2² · 0,5 + 2² · 0,5) = 2; σ(Y) = √(4² · 0,5 + 4² · 0,5) = 4. Unterschied 4 − 2 = 2.