Varianz und Standardabweichung

Variance and standard deviation

Mathematik Klasse 12 18 Aufgaben

WahrscheinlichkeitStochastikVarianzZufallsgröße

Var(X) = Σ (xᵢ − μ)² · P(X = xᵢ) misst die mittlere quadrierte Abweichung, σ = √Var(X) hat die Einheit von X; bequem rechnet man mit Var(X) = E(X²) − μ². Zwei Zufallsgrößen mit gleichem Erwartungswert können verschieden breit streuen. Räumt aus: die Summe ohne Quadrat (immer 0), σ ohne Wurzel, E(X)² statt E(X²) und „große Varianz heißt unfair“. Bereitet σ = √(n · p · (1 − p)) der Binomialverteilung und den Signifikanztest vor.

Wie weit streuen die Werte?

Zwei Räder können denselben Erwartungswert haben und doch verschieden wirken: Das eine zahlt fast immer um 3 €, das andere schwankt zwischen 1 € und 5 €. Die Varianz misst die mittlere quadrierte Abweichung vom Erwartungswert $μ = E (X)$ :

$Var (X) = i \sum (x_{i} - μ)^{2} \cdot P (X = x_{i})$

Das Quadrat verhindert, dass sich Abweichungen nach oben und unten aufheben, denn $\sum_{i} (x_{i} - μ) \cdot P (X = x_{i})$ ist immer 0. Die Standardabweichung $σ = Var (X)$ hat wieder die Einheit von $X$ . Die Varianz ist also der Erwartungswert von $(X - μ)^{2}$ . Große Varianz heißt nur: Die Werte liegen weit auseinander. Beim Rad ist $Var (X) = 6, 75$ und $σ \approx 2, 60$ €.

Verändere P(X=1). Der Erwartungswert bleibt 3. Was passiert mit Var(X), σ und dem Balken unter der Achse?

Der Verschiebungssatz

Meist rechnet man bequemer mit $Var (X) = E (X^{2}) - μ^{2}$ . Beim Rad ist $E (X^{2}) = 0 \cdot 0, 55 + 1 \cdot 0, 25 + 25 \cdot 0, 15 + 100 \cdot 0, 05 = 9$ , also $Var (X) = 9 - 1, 5^{2} = 6, 75$ .

Für die Augensumme zweier Würfel gilt $μ = 7$ , $Var (X) = \frac{35}{6} \approx 5, 83$ und $σ \approx 2, 42$ . Im Bild liegen die Säulen 5 bis 9 im Bereich $μ \pm σ$ , das sind $\frac{24}{36} \approx 67 %$ . Eine große Varianz heißt nur „breit gestreut“, nicht „unfair“. Und Verschieben ändert die Streuung nicht: $Var (X - c) = Var (X)$ . Vorsicht: $E (X^{2})$ und $E (X)^{2}$ sind verschieden; ihre Differenz ist die Varianz und damit nie negativ.

Augensumme zweier Würfel: Die gefärbten Säulen 5 bis 9 liegen im Bereich μ ± σ (7 ± 2,42) und tragen zusammen 24/36 der Wahrscheinlichkeit.

Voraussetzungen (1)

Der Erwartungswert

Klasse 12

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

X hat die Werte 0, 2 und 4 mit den Wahrscheinlichkeiten 0,25, 0,5 und 0,25; es ist μ = 2. Welche Rechnung ergibt Var(X)?

● (0 − 2)² · 0,25 + (2 − 2)² · 0,5 + (4 − 2)² · 0,25
○ (0 − 2) · 0,25 + (2 − 2) · 0,5 + (4 − 2) · 0,25
○ (0 − 2)² + (2 − 2)² + (4 − 2)²

Jede Abweichung wird quadriert und mit ihrer Wahrscheinlichkeit gewichtet: die Summanden sind 1, 0 und 1, also Var(X) = 2. Ohne Quadrat ergibt die Summe immer 0, ohne Gewichte zählt jeder Wert gleich viel (hier 8).

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Die Zufallsgröße im Bild hat μ = 3,2. Welcher Wert trägt in Var(X) = Σ (x − μ)² · P(X = x) den größten Summanden bei?

● x = 8
○ x = 3
○ x = 1

Summanden: x = 1: 2,2² · 0,4 ≈ 1,94; x = 3: 0,2² · 0,4 = 0,016; x = 8: 4,8² · 0,2 ≈ 4,61. Der weit entfernte Wert 8 dominiert, obwohl er nur die Wahrscheinlichkeit 0,2 hat.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Beim Glücksrad ist Var(X) = 6,75 €². Wie groß ist σ?

● 2,60 €
○ 3,38 €
○ 45,56 €

σ = √6,75 ≈ 2,60 €. Die Hälfte 3,38 wäre keine Wurzel, und das Quadrat 45,56 hat die Einheit €⁴.

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Beim Glücksrad (Auszahlung in Euro) hat Var(X) = 6,75 die Einheit Euro.

✓ Falsch

Var(X) mittelt quadrierte Abweichungen, hat also die quadrierte Einheit: 6,75 €². Erst σ = √Var(X) ≈ 2,60 € hat wieder die Einheit von X.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Für X gilt E(X²) = 9 und E(X) = 1,5. Wie groß ist Var(X)?

● 6,75
○ 7,5
○ 56,25

Var(X) = E(X²) − E(X)² = 9 − 1,5² = 9 − 2,25 = 6,75. Bei 7,5 wurde E(X) nicht quadriert, bei 56,25 ist die Differenz 9 − 1,5 zusätzlich quadriert.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Die Verteilung im Bild hat E(X) = 2,6. Wie groß ist E(X²)?

● 21,2
○ 6,76
○ 14,44

E(X²) = 0² · 0,5 + 2² · 0,3 + 10² · 0,2 = 0 + 1,2 + 20 = 21,2. Der Wert 6,76 ist E(X)², und 14,44 = 21,2 − 6,76 ist Var(X).

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

X und Y haben beide E = 5 (Bild). Wie groß sind σ(X) und σ(Y)?

● σ(X) = 1 und σ(Y) = 5
○ σ(X) = 5 und σ(Y) = 1
○ σ(X) = σ(Y) = 5, weil beide E = 5 haben

X liegt mit 4 und 6 stets um 1 neben μ = 5: Var = 1, σ = 1. Y liegt mit 0 und 10 stets um 5 daneben: Var = 25, σ = 5. Gleicher Erwartungswert heißt nicht gleiche Streuung.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Ein Rad zahlt 2 € oder 4 € (je Wahrscheinlichkeit 0,5), ein anderes 0 € oder 6 € (je 0,5). Beide haben E = 3 €, also streuen ihre Auszahlungen gleich stark.

✓ Falsch

Gleicher Erwartungswert heißt nicht gleiche Streuung: Das erste Rad liegt stets um 1 € neben μ = 3 (σ = 1 €), das zweite stets um 3 € (σ = 3 €). Das zweite streut breiter, ist deshalb aber nicht „unfairer“.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Die Verteilung von X zeigt das Bild; es ist μ = 2. Berechne Var(X).

✓ Antwort: 2

Var(X) = (0 − 2)² · 0,25 + 0 · 0,5 + (4 − 2)² · 0,25 = 1 + 0 + 1 = 2.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Es gilt Var(X) = 6,56. Berechne σ auf zwei Dezimalen.

✓ Antwort: 2.56

√6,56 ≈ 2,561, gerundet 2,56.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Es gilt E(X²) = 16,8 und E(X) = 3,2. Berechne Var(X) mit dem Verschiebungssatz.

✓ Antwort: 6.56

Var(X) = 16,8 − 3,2² = 16,8 − 10,24 = 6,56.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Für die Auszahlung X des Glücksrads ist Var(X) = 6,75 €². Der Gewinn ist G = X − 2 (Einsatz 2 €). Wie groß ist Var(G)?

✓ Antwort: 6.75

Eine Verschiebung um 2 ändert nur μ, nicht die Abstände zu μ: Var(X − 2) = Var(X) = 6,75 €².

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

X ist die Augenzahl eines fairen Würfels (Bild), μ = 3,5. Berechne Var(X) auf drei Dezimalen.

✓ Antwort: 2.917

Var(X) = (2,5² + 1,5² + 0,5² + 0,5² + 1,5² + 2,5²) · 1/6 = 17,5/6 = 35/12 ≈ 2,917.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Für die Anzahl X der Wappen bei drei Münzwürfen ist Var(X) = 0,75. Wie groß ist σ? (auf zwei Dezimalen)

✓ Antwort: 0.87

σ = √0,75 ≈ 0,866, gerundet 0,87. Eine Abweichung von etwa einem Wappen um E(X) = 1,5 ist also typisch.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

X ist die Anzahl der Wappen bei drei Münzwürfen (Bild), E(X) = 1,5. Berechne Var(X) mit dem Verschiebungssatz.

✓ Antwort: 0.75

E(X²) = 0 · 1/8 + 1 · 3/8 + 4 · 3/8 + 9 · 1/8 = 24/8 = 3. Var(X) = 3 − 1,5² = 0,75.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

X ist die Augenzahl eines fairen Würfels. Berechne μ = E(X). Berechne dann Var(X) auf zwei Wegen: (a) mit der Definition, (b) mit dem Verschiebungssatz E(X²) − μ². Gib zuletzt σ auf zwei Dezimalen an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: μ = (1 + 2 + … + 6)/6 = 3,5. (a) Var(X) = (2,5² + 1,5² + 0,5² + 0,5² + 1,5² + 2,5²)/6 = 17,5/6 = 35/12 ≈ 2,92. (b) E(X²) = (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36)/6 = 91/6; 91/6 − 3,5² = 91/6 − 49/4 = 35/12 ≈ 2,92. σ = √(35/12) ≈ 1,71.

Beide Wege liefern 35/12. Beim Verschiebungssatz zuerst E(X²) = 91/6 ≈ 15,17 bilden, dann μ² = 12,25 abziehen; σ = √2,917 ≈ 1,71.

Zahleneingabe #5 30s ▶ Testen

Bei drei Münzwürfen ist X die Anzahl der Wappen mit E(X) = 1,5 und σ ≈ 0,87 (Bild). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X im Bereich μ ± σ liegt?

✓ Antwort: 0.75

Der Bereich reicht von 1,5 − 0,87 = 0,63 bis 1,5 + 0,87 = 2,37 und enthält die Werte 1 und 2: P = 3/8 + 3/8 = 0,75.

Zahleneingabe #6 30s ▶ Testen

X hat die Werte 3 und 7 mit je 0,5; Y hat die Werte 1 und 9 mit je 0,5. Um wie viel ist σ(Y) größer als σ(X)?

✓ Antwort: 2

Beide haben μ = 5. σ(X) = √(2² · 0,5 + 2² · 0,5) = 2; σ(Y) = √(4² · 0,5 + 4² · 0,5) = 4. Unterschied 4 − 2 = 2.