Drei Wahrscheinlichkeitsbegriffe
Bei welchem Zufallsexperiment darf man P(A) = |A| / |Ω| ansetzen?
ErklĂ€rung: Nur beim fairen WĂŒrfel sind alle sechs Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Die Schachtel hat drei Lagen, der Nagel zwei, aber jeweils mit ungleichen Wahrscheinlichkeiten â ZĂ€hlen der Lagen liefert hier keine Wahrscheinlichkeit.
Der Wetterdienst unterscheidet nur âRegenâ und âkein Regenâ. Also gilt P(Regen) = 1/2.
ErklÀrung: Zwei mögliche Ergebnisse sind nicht automatisch gleich wahrscheinlich. Die Laplace-Formel braucht gleich wahrscheinliche Ergebnisse; hier ist das nicht gegeben.
Das GlĂŒcksrad im Bild hat drei Farben. Wie groĂ ist P(GrĂŒn)?
ErklĂ€rung: GrĂŒn nimmt die HĂ€lfte des Rades ein, also P(GrĂŒn) = 1/2. Der Ansatz 1/3 zĂ€hlt die Farben statt die FeldgröĂen â die drei Ergebnisse sind nicht gleich wahrscheinlich.
Die Urne im Bild enthĂ€lt gleich groĂe, gut gemischte Kugeln; eine wird zufĂ€llig gezogen. Wie groĂ ist P(blau)? (Dezimalzahl)
ErklÀrung: Alle 12 Kugeln sind gleich wahrscheinlich, 3 sind blau: P(blau) = 3/12 = 0,25.
Aus den Zahlen 1 bis 20 wird eine Zahl zufÀllig und gleich wahrscheinlich gewÀhlt. Wie groà ist P(Primzahl)? (Dezimalzahl)
ErklĂ€rung: Primzahlen bis 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 â das sind 8. P = 8/20 = 0,4. Die 1 ist keine Primzahl.
Zwei Serien schĂ€tzen P(6) desselben WĂŒrfels (Bild). Welche SchĂ€tzung ist verlĂ€sslicher?
ErklĂ€rung: Je lĂ€nger die Serie, desto weniger schwankt die relative HĂ€ufigkeit. 5 Sechsen in 20 WĂŒrfen sind eine unsichere SchĂ€tzung, 350 in 2000 WĂŒrfen eine deutlich verlĂ€sslichere.
Ein fairer WĂŒrfel wird 600-mal geworfen. Dann fĂ€llt die Sechs genau 100-mal.
ErklÀrung: Erwartet werden etwa 100 Sechsen, genau 100 sind aber nur eine von vielen möglichen Anzahlen. Die relative HÀufigkeit schÀtzt die Wahrscheinlichkeit, sie ist nie exakt.
Das Diagramm zeigt die relative HĂ€ufigkeit der Sechs bei einem WĂŒrfel. Welchen Wert schĂ€tzt man fĂŒr P(6)?
ErklĂ€rung: Ab 200 WĂŒrfen liegt h bei 0,24 bis 0,26 und Ă€ndert sich kaum noch â geschĂ€tzt wird P(6) â 0,25. 0,10 ist der unruhige Anfangswert der kurzen Serie, 1/6 gilt nur fĂŒr einen fairen WĂŒrfel.
Ein ReiĂnagel landet bei 800 WĂŒrfen 468-mal mit der Spitze nach oben. SchĂ€tze P(Spitze oben) als Dezimalzahl.
ErklĂ€rung: h = 468/800 = 0,585. Diese relative HĂ€ufigkeit ist der SchĂ€tzwert fĂŒr P(Spitze oben).
FĂŒr einen ReiĂnagel wurde P(Spitze oben) â 0,585 geschĂ€tzt. Etwa wie oft erwartet man âSpitze obenâ bei 2000 WĂŒrfen?
ErklĂ€rung: 2000 · 0,585 = 1170. Die tatsĂ€chliche Anzahl weicht meist etwas ab, deshalb âetwaâ.
Ein WĂŒrfel vom Schulfest wird 300-mal geworfen. HĂ€ufigkeiten der Augenzahlen 1 bis 6: 41, 47, 52, 50, 48, 62.
Berechne die relativen HĂ€ufigkeiten aller sechs Augenzahlen als Dezimalzahlen (auf drei Stellen) und gib damit einen SchĂ€tzwert fĂŒr P(6) an. Vergleiche ihn mit 1/6 und begrĂŒnde, ob 300 WĂŒrfe fĂŒr eine sichere Aussage reichen.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklĂ€rung: Jede relative HĂ€ufigkeit ist Anzahl durch 300. FĂŒr die Sechs: 62/300 â 0,207. Der Wert ist nur ein SchĂ€tzwert; ob er sich wirklich von 1/6 unterscheidet, zeigt erst eine lĂ€ngere Serie.
Eine Trainerin sagt: âUnsere Chance auf den Sieg am Samstag liegt bei 65 %.â Welcher Ansatz steckt dahinter?
ErklĂ€rung: Das Spiel findet nur einmal statt: Es gibt nichts zu zĂ€hlen und nichts zu wiederholen. Die Zahl drĂŒckt die Ăberzeugung der Trainerin aus, also die subjektive Wahrscheinlichkeit.
Bei welcher der drei Aussagen passt nur der subjektive Ansatz?
ErklĂ€rung: Das Turnier im nĂ€chsten Jahr gibt es nur einmal, es gibt keine Serie. Die FĂŒnf beim WĂŒrfel folgt aus gleich wahrscheinlichen Ergebnissen (Laplace), die SchraubenprĂŒfung aus einer HĂ€ufigkeit (frequentistisch).
Die Aussage âMorgen regnet es mit 70 % Wahrscheinlichkeitâ lĂ€sst sich mit dem Laplace-Ansatz begrĂŒnden.
ErklĂ€rung: Regen und kein Regen sind nicht gleich wahrscheinlich, und der morgige Tag lĂ€sst sich nicht als ZĂ€hlen gleich wahrscheinlicher FĂ€lle beschreiben. Die Angabe stĂŒtzt sich auf Erfahrung und Modelle, ist also eher eine EinschĂ€tzung.
Ein Wetterdienst meldet eine Regenwahrscheinlichkeit von 70 %. Schreibe sie als Dezimalzahl.
ErklÀrung: 70 % = 70/100 = 0,7. Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1.
Ein Trainer schÀtzt die Siegchance seiner Mannschaft auf 0,65; ein Unentschieden ist ausgeschlossen. Welche Wahrscheinlichkeit muss er der Niederlage geben, damit seine EinschÀtzung stimmig ist?
ErklĂ€rung: Sieg und Niederlage zusammen fĂŒllen alle Möglichkeiten, ihre Wahrscheinlichkeiten mĂŒssen 1 ergeben: 1 â 0,65 = 0,35. Auch eine subjektive EinschĂ€tzung muss diese Regel beachten.