Drei Wahrscheinlichkeitsbegriffe

Three notions of probability

Mathematik Klasse 12 16 Aufgaben

WahrscheinlichkeitStochastik

Laplace zählt gleich wahrscheinliche Ergebnisse, der frequentistische Ansatz schätzt Wahrscheinlichkeit durch die relative Häufigkeit einer langen Serie, der subjektive Ansatz drückt einen Grad der Überzeugung aus, auch für einmalige Ereignisse. Jeder Ansatz hat einen Geltungsbereich und eine Grenze. Räumt zwei Fehlvorstellungen aus: dass zwei mögliche Ergebnisse immer je ½ bedeuten (Reißnagel, gezinkter Würfel) und dass eine kurze Serie oder gar 600 Würfe genau 100 Sechsen liefern. Bereitet die Frage vor, welche Rechenregeln alle drei Ansätze gemeinsam erfüllen müssen: die Axiome.

„Mit 70 % Wahrscheinlichkeit regnet es.“ Woher kommt so eine Zahl? Es gibt drei klassische Antworten.

Der Laplace-Ansatz zählt: Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, gilt $P (A) = \frac{∣ A ∣}{∣Ω∣}$ . Beim fairen Würfel ist $P (6) = \frac{1}{6}$ . Die Voraussetzung wird gern vergessen: Ein Reißnagel hat zwei mögliche Lagen, aber keine davon muss die Wahrscheinlichkeit ½ haben.

Der frequentistische Ansatz misst: Die relative Häufigkeit in einer langen Serie schätzt die Wahrscheinlichkeit. Der Würfel im Bild ist gezinkt; nach 400 Würfen liegt $h (6) \approx 0, 25$ und nicht bei $\frac{1}{6}$ . Exakt ist dieser Wert nie, er bleibt ein Schätzwert. Umgekehrt kann eine lange Serie eine Laplace-Annahme entlarven: Weicht $h (6)$ dauerhaft von $\frac{1}{6}$ ab, waren die Ergebnisse nicht gleich wahrscheinlich.

Vergrößere die Zahl der Würfe n. Bei welchem Wert pendelt sich h ein, und wie weit liegt die gestrichelte Linie 1/6 davon entfernt?

Der subjektive Ansatz bewertet: Eine Trainerin gibt ihrer Mannschaft 65 % Siegchance. Dieses Spiel gibt es nur einmal, man kann nichts zählen und nichts wiederholen. Hier zählt der Grad der Überzeugung.

Jeder Ansatz hat seine Grenze: Laplace braucht gleich wahrscheinliche Ergebnisse, die Häufigkeit eine Serie, die sich wiederholen lässt, und ein subjektiver Wert lässt sich nicht nachmessen – zwei Personen dürfen verschieden urteilen.

Alle drei Ansätze liefern Zahlen, die dieselben Rechenregeln erfüllen sollen. Welche das sind, legen wir als Nächstes fest.

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Bei welchem Zufallsexperiment darf man P(A) = |A| / |Ω| ansetzen?

● Werfen eines fairen Würfels
○ Werfen einer Streichholzschachtel (Lagen: Fläche, Kante, Ende)
○ Werfen eines Reißnagels (Lagen: Spitze oben, Spitze unten)

Nur beim fairen Würfel sind alle sechs Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Die Schachtel hat drei Lagen, der Nagel zwei, aber jeweils mit ungleichen Wahrscheinlichkeiten – Zählen der Lagen liefert hier keine Wahrscheinlichkeit.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Der Wetterdienst unterscheidet nur „Regen“ und „kein Regen“. Also gilt P(Regen) = 1/2.

✓ Falsch

Zwei mögliche Ergebnisse sind nicht automatisch gleich wahrscheinlich. Die Laplace-Formel braucht gleich wahrscheinliche Ergebnisse; hier ist das nicht gegeben.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Das Glücksrad im Bild hat drei Farben. Wie groß ist P(Grün)?

● 1/2
○ 1/3
○ 1/4

Grün nimmt die Hälfte des Rades ein, also P(Grün) = 1/2. Der Ansatz 1/3 zählt die Farben statt die Feldgrößen – die drei Ergebnisse sind nicht gleich wahrscheinlich.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Zwei Serien schätzen P(6) desselben Würfels (Bild). Welche Schätzung ist verlässlicher?

● Serie B mit 0,175, weil sie auf 2000 Würfen beruht
○ Serie A mit 0,25, weil der Wert größer ist
○ Beide gleich, weil beide relative Häufigkeiten sind

Je länger die Serie, desto weniger schwankt die relative Häufigkeit. 5 Sechsen in 20 Würfen sind eine unsichere Schätzung, 350 in 2000 Würfen eine deutlich verlässlichere.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Ein fairer Würfel wird 600-mal geworfen. Dann fällt die Sechs genau 100-mal.

✓ Falsch

Erwartet werden etwa 100 Sechsen, genau 100 sind aber nur eine von vielen möglichen Anzahlen. Die relative Häufigkeit schätzt die Wahrscheinlichkeit, sie ist nie exakt.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Das Diagramm zeigt die relative Häufigkeit der Sechs bei einem Würfel. Welchen Wert schätzt man für P(6)?

● Etwa 0,25
○ Etwa 1/6 ≈ 0,17
○ Etwa 0,10

Ab 200 Würfen liegt h bei 0,24 bis 0,26 und ändert sich kaum noch – geschätzt wird P(6) ≈ 0,25. 0,10 ist der unruhige Anfangswert der kurzen Serie, 1/6 gilt nur für einen fairen Würfel.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Eine Trainerin sagt: „Unsere Chance auf den Sieg am Samstag liegt bei 65 %.“ Welcher Ansatz steckt dahinter?

● Der subjektive: ein Grad der Überzeugung
○ Der Laplace-Ansatz: Zählen gleich wahrscheinlicher Ergebnisse
○ Der frequentistische: die relative Häufigkeit einer langen Serie

Das Spiel findet nur einmal statt: Es gibt nichts zu zählen und nichts zu wiederholen. Die Zahl drückt die Überzeugung der Trainerin aus, also die subjektive Wahrscheinlichkeit.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Bei welcher der drei Aussagen passt nur der subjektive Ansatz?

● „Unsere Schule gewinnt das Turnier im nächsten Jahr mit 30 %.“
○ „Beim Würfeln erscheint die Fünf mit 1/6.“
○ „Von 200 geprüften Schrauben waren 6 defekt, also etwa 3 %.“

Das Turnier im nächsten Jahr gibt es nur einmal, es gibt keine Serie. Die Fünf beim Würfel folgt aus gleich wahrscheinlichen Ergebnissen (Laplace), die Schraubenprüfung aus einer Häufigkeit (frequentistisch).

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Die Aussage „Morgen regnet es mit 70 % Wahrscheinlichkeit“ lässt sich mit dem Laplace-Ansatz begründen.

✓ Falsch

Regen und kein Regen sind nicht gleich wahrscheinlich, und der morgige Tag lässt sich nicht als Zählen gleich wahrscheinlicher Fälle beschreiben. Die Angabe stützt sich auf Erfahrung und Modelle, ist also eher eine Einschätzung.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Die Urne im Bild enthält gleich große, gut gemischte Kugeln; eine wird zufällig gezogen. Wie groß ist P(blau)? (Dezimalzahl)

✓ Antwort: 0.25

Alle 12 Kugeln sind gleich wahrscheinlich, 3 sind blau: P(blau) = 3/12 = 0,25.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Reißnagel landet bei 800 Würfen 468-mal mit der Spitze nach oben. Schätze P(Spitze oben) als Dezimalzahl.

✓ Antwort: 0.585

h = 468/800 = 0,585. Diese relative Häufigkeit ist der Schätzwert für P(Spitze oben).

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ein Wetterdienst meldet eine Regenwahrscheinlichkeit von 70 %. Schreibe sie als Dezimalzahl.

✓ Antwort: 0.7

70 % = 70/100 = 0,7. Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Aus den Zahlen 1 bis 20 wird eine Zahl zufällig und gleich wahrscheinlich gewählt. Wie groß ist P(Primzahl)? (Dezimalzahl)

✓ Antwort: 0.4

Primzahlen bis 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 – das sind 8. P = 8/20 = 0,4. Die 1 ist keine Primzahl.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Für einen Reißnagel wurde P(Spitze oben) ≈ 0,585 geschätzt. Etwa wie oft erwartet man „Spitze oben“ bei 2000 Würfen?

✓ Antwort: 1170

2000 · 0,585 = 1170. Die tatsächliche Anzahl weicht meist etwas ab, deshalb „etwa“.

KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Ein Würfel vom Schulfest wird 300-mal geworfen. Häufigkeiten der Augenzahlen 1 bis 6: 41, 47, 52, 50, 48, 62. Berechne die relativen Häufigkeiten aller sechs Augenzahlen als Dezimalzahlen (auf drei Stellen) und gib damit einen Schätzwert für P(6) an. Vergleiche ihn mit 1/6 und begründe, ob 300 Würfe für eine sichere Aussage reichen. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: h(1) = 41/300 ≈ 0,137; h(2) = 47/300 ≈ 0,157; h(3) = 52/300 ≈ 0,173; h(4) = 50/300 ≈ 0,167; h(5) = 48/300 = 0,160; h(6) = 62/300 ≈ 0,207. Die Summe ist 1. Schätzwert P(6) ≈ 0,207, das ist mehr als 1/6 ≈ 0,167. Der Unterschied ist klein, eine Serie von 300 Würfen schwankt noch merklich: Man würde weiter würfeln, bevor man den Würfel als gezinkt bezeichnet.

Jede relative Häufigkeit ist Anzahl durch 300. Für die Sechs: 62/300 ≈ 0,207. Der Wert ist nur ein Schätzwert; ob er sich wirklich von 1/6 unterscheidet, zeigt erst eine längere Serie.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Ein Trainer schätzt die Siegchance seiner Mannschaft auf 0,65; ein Unentschieden ist ausgeschlossen. Welche Wahrscheinlichkeit muss er der Niederlage geben, damit seine Einschätzung stimmig ist?

✓ Antwort: 0.35

Sieg und Niederlage zusammen füllen alle Möglichkeiten, ihre Wahrscheinlichkeiten müssen 1 ergeben: 1 − 0,65 = 0,35. Auch eine subjektive Einschätzung muss diese Regel beachten.