ZufallsgröĂe und Verteilung
Beim GlĂŒcksrad zahlen Rot 0 âŹ, Blau 1 âŹ, GrĂŒn 5 ⏠und Gelb 10 ⏠aus. Welche der drei Angaben ist eine ZufallsgröĂe?
ErklĂ€rung: Die Auszahlung ordnet jedem Ergebnis (jeder Farbe) eine Zahl zu. Die Wahrscheinlichkeit fĂŒr GrĂŒn ist selbst eine Zahl, aber keine Zuordnung; âGelbâ ist ein Ergebnis.
Beim GlĂŒcksrad mit Auszahlung Rot 0 âŹ, Blau 1 âŹ, GrĂŒn 5 âŹ, Gelb 10 ⏠ist âRotâ ein Wert der ZufallsgröĂe X = Auszahlung.
ErklĂ€rung: âRotâ ist ein Ergebnis. Die ZufallsgröĂe macht daraus eine Zahl: X(Rot) = 0. Die Werte von X sind 0, 1, 5 und 10.
Das Rad im Bild zahlt Rot 0 âŹ, Blau 1 âŹ, GrĂŒn 5 âŹ, Gelb 10 ⏠aus; X ist die Auszahlung in Euro. Welchen Wert nimmt X bei GrĂŒn an?
ErklĂ€rung: X ordnet dem Ergebnis GrĂŒn die Zahl 5 zu: X(GrĂŒn) = 5.
Zwei WĂŒrfel werden geworfen; X ist der Betrag der Differenz der beiden Augenzahlen. Welchen Wert nimmt X beim Ergebnis (2 | 6) an?
ErklĂ€rung: |2 â 6| = 4, also X(2 | 6) = 4. Zum Wert 4 gehören auch (1 | 5), (5 | 1), (6 | 2): viele Ergebnisse, ein Wert.
Eine MĂŒnze wird dreimal geworfen, X ist die Anzahl der Wappen. Welche Menge ist das Ereignis {X = 1}?
ErklÀrung: Genau ein Wappen: die drei Pfade WZZ, ZWZ und ZZW. {WZZ} nennt nur einen davon, und {WWZ, WZW, ZWW} ist das Ereignis {X = 2} mit genau zwei Wappen.
Beim GlĂŒcksrad ist {X = 5} ein Ereignis, nĂ€mlich die Menge der grĂŒnen Felder.
ErklĂ€rung: {X = 5} ist die Menge aller Ergebnisse mit Auszahlung 5 âŹ, also ein Ereignis. Seine Wahrscheinlichkeit P(X = 5) = 3/20 ist dagegen eine Zahl.
Zwei WĂŒrfel werden geworfen, X ist die Augensumme. Das Gitter zeigt alle 36 gleich wahrscheinlichen Ergebnisse (x-Achse: erster WĂŒrfel, y-Achse: zweiter WĂŒrfel). Wie groĂ ist P(X = 8)?
ErklÀrung: {X = 8} enthÀlt (2|6), (3|5), (4|4), (5|3), (6|2): 5 Paare, also P = 5/36. 8/36 verwechselt den Wert 8 mit der Anzahl der Paare; 5/11 zÀhlt die elf möglichen Werte statt der 36 Paare.
Eine MĂŒnze wird dreimal geworfen, X ist die Anzahl der Wappen. Wie groĂ ist P(X = 2)? (Dezimalzahl)
ErklÀrung: {X = 2} = {WWZ, WZW, ZWW} hat 3 von 8 gleich wahrscheinlichen Ergebnissen: P = 3/8 = 0,375.
Zwei WĂŒrfel werden geworfen, X ist die Augensumme. Wie viele der 36 Ergebnisse gehören zum Ereignis {X †4}?
ErklÀrung: X = 2: (1|1); X = 3: (1|2), (2|1); X = 4: (1|3), (2|2), (3|1). Zusammen 1 + 2 + 3 = 6 Ergebnisse.
Eine MĂŒnze wird dreimal geworfen, X ist die Anzahl der Wappen. Welche Tabelle gibt P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2), P(X = 3) an?
ErklÀrung: Die Werte 0 bis 3 gehören zu 1, 3, 3 und 1 von 8 gleich wahrscheinlichen Pfaden. 1/4 je Wert unterstellt, dass alle Anzahlen gleich wahrscheinlich sind; 1/8; 2/8; 3/8; 2/8 zÀhlt die Pfade falsch.
Bei zwei WĂŒrfeln haben die Augensummen 2 bis 12 alle die Wahrscheinlichkeit 1/11.
ErklĂ€rung: Die Summen sind nicht gleich wahrscheinlich: FĂŒr 7 gibt es 6 Paare (P = 6/36), fĂŒr 2 nur eines (P = 1/36). Elf Werte heiĂen nicht elf gleich groĂe Wahrscheinlichkeiten.
Eine ZufallsgröĂe X hat die Werte 1, 2, 4 und 7. Es gilt P(X = 1) = 0,2; P(X = 2) = 0,5 und P(X = 4) = 0,1. Wie groĂ ist P(X = 7)?
ErklĂ€rung: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist 1: P(X = 7) = 1 â (0,2 + 0,5 + 0,1) = 0,2.
Das Diagramm zeigt die Verteilung der Auszahlung X des GlĂŒcksrads. Wie groĂ ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 1 ⏠ausgezahlt wird?
ErklĂ€rung: Die Werte 1, 5 und 10 gehören dazu: 0,25 + 0,15 + 0,05 = 0,45. Oder als Gegenereignis: 1 â P(X = 0) = 1 â 0,55.
Zwei faire WĂŒrfel werden geworfen, X ist die Augensumme. Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X fĂŒr x = 2, âŠ, 12 als Tabelle auf (mit der Anzahl der zugehörigen Ergebnispaare von 36). Zeige, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 1 ergibt, und berechne P(X â„ 10).
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklĂ€rung: Die Zahl der Paare mit Summe x ist 6 â |x â 7|. Die Wahrscheinlichkeiten addieren sich zu 36/36 = 1 (Ereignisse {X = x} zerlegen Ω). P(X â„ 10) = 6/36 = 1/6.
Alle SÀulen des Histogramms haben die Breite 1. Wie groà ist die GesamtflÀche aller SÀulen?
ErklÀrung: FlÀche einer SÀule = Breite 1 · Höhe = P(X = x). Alle SÀulen zusammen: 0,1 + 0,2 + 0,4 + 0,2 + 0,1 = 1. Die 5 zÀhlt die SÀulen, 0,4 ist nur die höchste.
Im Histogramm (SÀulenbreite 1) hat die SÀule bei x = 4 den FlÀcheninhalt 0,2.
ErklÀrung: FlÀche = Breite · Höhe = 1 · 0,2 = 0,2 = P(X = 4). Wegen der Breite 1 sind Höhe und FlÀcheninhalt dieselbe Zahl.
Wie groĂ ist P(X = 3) laut Histogramm?
ErklÀrung: Die Höhe der SÀule bei x = 3 ist 0,4. Wegen der Breite 1 ist das auch ihr FlÀcheninhalt.
Wie groà ist P(2 †X †4) laut Histogramm?
ErklĂ€rung: Die SĂ€ulen bei 2, 3 und 4 haben die FlĂ€chen 0,2, 0,4 und 0,2: zusammen 0,8. Gegenprobe: 1 â 0,1 â 0,1 = 0,8.