Zufallsgröße und Verteilung

Random variable and distribution

Mathematik Klasse 12 18 Aufgaben
WahrscheinlichkeitStochastikZufallsgrößeWahrscheinlichkeitsverteilung

Eine Zufallsgröße X ordnet jedem Ergebnis eine Zahl zu, die Verteilung nennt jeden Wert mit P(X = x), die Summe ist 1. Das Histogramm mit Rechtecksbreite 1 zeigt sie: Höhe und Flächeninhalt sind P(X = x). Räumt aus: X sei selbst eine Wahrscheinlichkeit, {X = k} (Ereignis) und P(X = k) (Zahl) seien dasselbe, und die Augensummen 2 bis 12 seien gleich wahrscheinlich (Lecoutre 1992). Bereitet kumulative Verteilung, Erwartungswert und Varianz vor.

Zahlen zu Ergebnissen

Am Glücksrad zählt nicht die Farbe, sondern die Auszahlung. Eine Zufallsgröße ordnet jedem Ergebnis eine Zahl zu: Rot ↦ 0 €, Blau ↦ 1 €, Grün ↦ 5 €, Gelb ↦ 10 €. Sie ist eine Zuordnung, keine Wahrscheinlichkeit. Das Rad hat 20 gleich große Felder: 11 rote, 5 blaue, 3 grüne, 1 gelbes. Verschiedene Ergebnisse dürfen denselben Wert haben; die Werte von heißen , hier 0, 1, 5 und 10.

ist das Ereignis aller Ergebnisse mit Auszahlung 5 €, hier Grün. Seine Wahrscheinlichkeit ist eine Zahl: .

Drehe das Rad mehrmals. Welche Auszahlung kommt am häufigsten, und wie oft zahlt es 10 €?

Die Verteilung

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von nennt jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit. Beim Rad: , , , . Die Summe ist 1, denn die Ereignisse zerlegen . Kontrolle: 0,55 + 0,25 + 0,15 + 0,05 = 1. Stimmt die Summe nicht, ist ein Wert falsch oder fehlt.

Werfen wir zwei Würfel und ist die Augensumme, sind die Werte 2 bis 12 nicht gleich wahrscheinlich: Für 7 gibt es sechs Paare, für 2 nur (1 | 1). Im Histogramm mit Rechtecksbreite 1 ist die Höhe einer Säule und zugleich ihr Flächeninhalt. Die Gesamtfläche ist 1. Wer „elf Werte, also je 1/11“ sagt, zählt die Werte statt der Paare.

Wähle eine Augensumme x. Wie viele Paare gehören dazu, und welche Säule ist die höchste?

Ermöglicht (2)

Der Erwartungswert
Klasse 12
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Kumulative Verteilung
Klasse 12
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Beim Glücksrad zahlen Rot 0 €, Blau 1 €, Grün 5 € und Gelb 10 € aus. Welche der drei Angaben ist eine Zufallsgröße?

  • ● Die Auszahlung in Euro
  • ○ Die Wahrscheinlichkeit für Grün
  • ○ Das Ergebnis Gelb
Die Auszahlung ordnet jedem Ergebnis (jeder Farbe) eine Zahl zu. Die Wahrscheinlichkeit für Grün ist selbst eine Zahl, aber keine Zuordnung; „Gelb“ ist ein Ergebnis.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Beim Glücksrad mit Auszahlung Rot 0 €, Blau 1 €, Grün 5 €, Gelb 10 € ist „Rot“ ein Wert der Zufallsgröße X = Auszahlung.

✓ Falsch
„Rot“ ist ein Ergebnis. Die Zufallsgröße macht daraus eine Zahl: X(Rot) = 0. Die Werte von X sind 0, 1, 5 und 10.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Eine Münze wird dreimal geworfen, X ist die Anzahl der Wappen. Welche Menge ist das Ereignis {X = 1}?

  • ● {WZZ, ZWZ, ZZW}
  • ○ {WZZ}
  • ○ {WWZ, WZW, ZWW}
Genau ein Wappen: die drei Pfade WZZ, ZWZ und ZZW. {WZZ} nennt nur einen davon, und {WWZ, WZW, ZWW} ist das Ereignis {X = 2} mit genau zwei Wappen.
Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Beim Glücksrad ist {X = 5} ein Ereignis, nämlich die Menge der grünen Felder.

✓ Wahr
{X = 5} ist die Menge aller Ergebnisse mit Auszahlung 5 €, also ein Ereignis. Seine Wahrscheinlichkeit P(X = 5) = 3/20 ist dagegen eine Zahl.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Zwei Würfel werden geworfen, X ist die Augensumme. Das Gitter zeigt alle 36 gleich wahrscheinlichen Ergebnisse (x-Achse: erster Würfel, y-Achse: zweiter Würfel). Wie groß ist P(X = 8)?

  • ● 5/36
  • ○ 8/36
  • ○ 5/11
{X = 8} enthält (2|6), (3|5), (4|4), (5|3), (6|2): 5 Paare, also P = 5/36. 8/36 verwechselt den Wert 8 mit der Anzahl der Paare; 5/11 zählt die elf möglichen Werte statt der 36 Paare.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Eine Münze wird dreimal geworfen, X ist die Anzahl der Wappen. Welche Tabelle gibt P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2), P(X = 3) an?

  • ● 1/8; 3/8; 3/8; 1/8
  • ○ 1/4; 1/4; 1/4; 1/4
  • ○ 1/8; 2/8; 3/8; 2/8
Die Werte 0 bis 3 gehören zu 1, 3, 3 und 1 von 8 gleich wahrscheinlichen Pfaden. 1/4 je Wert unterstellt, dass alle Anzahlen gleich wahrscheinlich sind; 1/8; 2/8; 3/8; 2/8 zählt die Pfade falsch.
Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Bei zwei Würfeln haben die Augensummen 2 bis 12 alle die Wahrscheinlichkeit 1/11.

✓ Falsch
Die Summen sind nicht gleich wahrscheinlich: Für 7 gibt es 6 Paare (P = 6/36), für 2 nur eines (P = 1/36). Elf Werte heißen nicht elf gleich große Wahrscheinlichkeiten.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Alle Säulen des Histogramms haben die Breite 1. Wie groß ist die Gesamtfläche aller Säulen?

  • ● 1
  • ○ 5
  • ○ 0,4
Fläche einer Säule = Breite 1 · Höhe = P(X = x). Alle Säulen zusammen: 0,1 + 0,2 + 0,4 + 0,2 + 0,1 = 1. Die 5 zählt die Säulen, 0,4 ist nur die höchste.
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Im Histogramm (Säulenbreite 1) hat die Säule bei x = 4 den Flächeninhalt 0,2.

✓ Wahr
Fläche = Breite · Höhe = 1 · 0,2 = 0,2 = P(X = 4). Wegen der Breite 1 sind Höhe und Flächeninhalt dieselbe Zahl.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Das Rad im Bild zahlt Rot 0 €, Blau 1 €, Grün 5 €, Gelb 10 € aus; X ist die Auszahlung in Euro. Welchen Wert nimmt X bei Grün an?

✓ Antwort: 5
X ordnet dem Ergebnis Grün die Zahl 5 zu: X(Grün) = 5.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Eine Münze wird dreimal geworfen, X ist die Anzahl der Wappen. Wie groß ist P(X = 2)? (Dezimalzahl)

✓ Antwort: 0.375
{X = 2} = {WWZ, WZW, ZWW} hat 3 von 8 gleich wahrscheinlichen Ergebnissen: P = 3/8 = 0,375.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Eine Zufallsgröße X hat die Werte 1, 2, 4 und 7. Es gilt P(X = 1) = 0,2; P(X = 2) = 0,5 und P(X = 4) = 0,1. Wie groß ist P(X = 7)?

✓ Antwort: 0.2
Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist 1: P(X = 7) = 1 − (0,2 + 0,5 + 0,1) = 0,2.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Wie groß ist P(X = 3) laut Histogramm?

✓ Antwort: 0.4
Die Höhe der Säule bei x = 3 ist 0,4. Wegen der Breite 1 ist das auch ihr Flächeninhalt.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Zwei Würfel werden geworfen; X ist der Betrag der Differenz der beiden Augenzahlen. Welchen Wert nimmt X beim Ergebnis (2 | 6) an?

✓ Antwort: 4
|2 − 6| = 4, also X(2 | 6) = 4. Zum Wert 4 gehören auch (1 | 5), (5 | 1), (6 | 2): viele Ergebnisse, ein Wert.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Zwei Würfel werden geworfen, X ist die Augensumme. Wie viele der 36 Ergebnisse gehören zum Ereignis {X ≤ 4}?

✓ Antwort: 6
X = 2: (1|1); X = 3: (1|2), (2|1); X = 4: (1|3), (2|2), (3|1). Zusammen 1 + 2 + 3 = 6 Ergebnisse.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Das Diagramm zeigt die Verteilung der Auszahlung X des Glücksrads. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 1 € ausgezahlt wird?

✓ Antwort: 0.45
Die Werte 1, 5 und 10 gehören dazu: 0,25 + 0,15 + 0,05 = 0,45. Oder als Gegenereignis: 1 − P(X = 0) = 1 − 0,55.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Zwei faire Würfel werden geworfen, X ist die Augensumme. Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X für x = 2, …, 12 als Tabelle auf (mit der Anzahl der zugehörigen Ergebnispaare von 36). Zeige, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 1 ergibt, und berechne P(X ≥ 10). Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Anzahl der Paare für x = 2, …, 12: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1; Wahrscheinlichkeiten 1/36, 2/36, 3/36, 4/36, 5/36, 6/36, 5/36, 4/36, 3/36, 2/36, 1/36. Summe der Paare 36, also Summe der Wahrscheinlichkeiten 36/36 = 1. P(X ≥ 10) = P(10) + P(11) + P(12) = 3/36 + 2/36 + 1/36 = 6/36 = 1/6.
Die Zahl der Paare mit Summe x ist 6 − |x − 7|. Die Wahrscheinlichkeiten addieren sich zu 36/36 = 1 (Ereignisse {X = x} zerlegen Ω). P(X ≥ 10) = 6/36 = 1/6.
Zahleneingabe #5 30s ▶ Testen

Wie groß ist P(2 ≤ X ≤ 4) laut Histogramm?

✓ Antwort: 0.8
Die Säulen bei 2, 3 und 4 haben die Flächen 0,2, 0,4 und 0,2: zusammen 0,8. Gegenprobe: 1 − 0,1 − 0,1 = 0,8.