Welche Differentialgleichung beschreibt die ungedämpfte Schwingung im LC-Kreis?

Erklärung: Aus U_C + U_L = 0 folgt mit U_L = L·Q̈ und U_C = Q/C die Gleichung L·Q̈ + Q/C = 0. Sie hat dieselbe Form wie die Gleichung der mechanischen Federschwingung.

Aus welcher physikalischen Aussage wird die Differentialgleichung des Schwingkreises gewonnen?

Erklärung: Im geschlossenen LC-Kreis ohne Quelle muss die Gesamtspannung verschwinden. Aus U_C = −U_L folgt direkt die Schwingungsgleichung.

Welcher Lösungsansatz erfüllt die Gleichung L·Q̈ + Q/C = 0?

Erklärung: Einsetzen des Sinusansatzes liefert die Bedingung −Lω² + 1/C = 0, also ω = 1/√(LC). Die Exponentialfunktion beschreibt dagegen die Entladung über einen Widerstand.

Berechne die Kreisfrequenz ω = 1/√(L·C) eines Schwingkreises mit L = 0,25 H und C = 1 µF. (Antwort in 1/s)

Erklärung: L·C = 0,25 · 10⁻⁶ = 2,5·10⁻⁷, also √(LC) = 5·10⁻⁴ s. Damit ist ω = 1/(5·10⁻⁴ s) = 2000 1/s.

Berechne die Schwingungsdauer T = 2π·√(L·C) für L = 1 H und C = 1 µF. (Antwort in Millisekunden, eine Dezimalstelle)

Erklärung: √(LC) = √(10⁻⁶) s = 10⁻³ s. Damit ist T = 2π·10⁻³ s ≈ 6,3 ms.

Ein Schwingkreis besteht aus L = 1 H und C = 1 µF. Berechne die Eigenfrequenz f₀ = 1/(2π·√(LC)). (Antwort in Hertz, auf ganze Zahl gerundet)

Erklärung: √(LC) = 10⁻³ s, also f₀ = 1/(2π·10⁻³ s) ≈ 159 Hz. Die Eigenfrequenz ist der Kehrwert der Schwingungsdauer T ≈ 6,3 ms.

Ein Schwingkreis hat die Schwingungsdauer T = 2 ms. Seine Kapazität wird vervierfacht. Berechne die neue Schwingungsdauer. (Antwort in Millisekunden)

Erklärung: T wächst mit √C. Vervierfachen von C verdoppelt √C und damit T — die neue Schwingungsdauer beträgt 4 ms.

Verdoppelt man die Induktivität L eines Schwingkreises, so verdoppelt sich auch die Schwingungsdauer T.

Erklärung: Falsch! T = 2π√(LC) wächst nur mit der Wurzel aus L. Bei doppeltem L wird T um den Faktor √2 ≈ 1,41 größer.

Wie erreicht man mit einem Schwingkreis besonders hohe Eigenfrequenzen?

Erklärung: Wegen f₀ = 1/(2π√(LC)) steigt die Frequenz, wenn L und C sinken. Genau dieser Weg führt später vom Schwingkreis zum Hertzschen Dipol.

Beim Eingangsversuch liefert die Thomson-Gleichung T_theor = 0,9 s, gemessen wird T_exp ≈ 1 s. Diese Abweichung widerlegt die Thomson-Gleichung.

Erklärung: Falsch! Die Messung bestätigt die Vorhersage in guter Näherung. Die kleine Abweichung erklärt sich durch Dämpfung und Bauteiltoleranzen — nicht durch einen Fehler der Gleichung.

Welche mechanische Größe übernimmt in der Analogie zur Federschwingung die Rolle der Induktivität L?

Erklärung: Der Vergleich der Schwingungsgleichungen zeigt m ↔ L und D ↔ 1/C. So wird aus T = 2π√(m/D) die Thomson-Gleichung T = 2π√(LC).

Die Frequenz, mit der ein sich selbst überlassener Schwingkreis schwingt, heißt ___.

Erklärung: Jedes schwingungsfähige System schwingt ohne äußere Einwirkung mit seiner Eigenfrequenz f₀. Beim Schwingkreis ist sie durch L und C festgelegt.

Ein Schwingkreis soll mit ω = 1000 1/s schwingen und enthält L = 1 H. Berechne die nötige Kapazität C = 1/(ω²·L). (Antwort in Mikrofarad)

Erklärung: C = 1/(ω²·L) = 1/(10⁶ · 1) F = 10⁻⁶ F. Das entspricht 1 µF — so stellt man Frequenzbereiche gezielt über die Bauteilwahl ein.

Aufgabe 1 von 13