Die Thomson-Gleichung

Thomson's Equation

Physik Klasse 12 13 Aufgaben
SchwingkreisKerncurriculum

Aus der Maschenregel U_C + U_L = 0 entsteht die Differentialgleichung L·Q̈ + Q/C = 0; der Ansatz Q(t) = Q₀·sin(ωt + φ) liefert ω = 1/√(LC) und damit die Thomson-Gleichung T = 2π√(LC) bzw. f₀ = 1/(2π√(LC)). Kleine L und C bedeuten hohe Frequenzen, und T wächst nur mit der Wurzel — über die Wahl von L und C stellt man den Frequenzbereich gezielt ein. Die mechanische Analogie (m ↔ L, D ↔ 1/C) macht die Herleitung nachvollziehbar statt zum blinden Einsetzen. Trägt Resonanz und den Hertzschen Dipol.

Können & Üben

Schwingkreis-und-Wellen-Werkstatt — vom LC-Kreis zum Licht

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90 min · once

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Vier Stationen nach dem Prinzip Vermuten – Beobachten – Erklären in Kleingruppen, Rotation nach etwa 20 Minuten. Roter Faden: Dieselbe Schwingung, die im LC-Kreis pendelt, läuft am Ende als Welle durch den Raum — und wird zweimal vermessen, bei 3 cm und bei 650 nm. Station 1 — LC-Entladung am Interface. Vermuten: Der geladene Kondensator wird statt über einen Widerstand über eine Spule entladen — was zeigt die Spannungskurve? Beobachten: Statt des exponentiellen Abfalls entsteht eine gedämpfte Schwingung; U und I sind um eine Viertelperiode versetzt. Mit halber Kapazität steigt die Frequenz um den Faktor Wurzel 2, der Eisenkern in der Spule senkt sie — Thomson-Check gegen T = 2π·Wurzel(L·C). Erklären: Feldenergie des Kondensators und des Spulenfelds pendeln hin und her, wie Feder und Masse. Modellgrenze: Der Spulenwiderstand dämpft — die Thomson-Gleichung gilt streng nur für den ungedämpften Kreis. Sicherheitshinweis: Kondensatoren vor jedem Umbau entladen. Station 2 — Resonanz und Rückkopplung. Vermuten: Der Funktionsgenerator regt den Kreis induktiv an — bei welcher Frequenz wird die Amplitude maximal? Beobachten: Beim Durchfahren der Erregerfrequenz wächst die Amplitude scharf um f0 herum an; die Resonanzkurve wird punktweise aufgenommen. Dann übernimmt der Meißner-Baustein: Die Schwingung hält sich selbst ungedämpft, weil die Rückkopplung im richtigen Takt Energie nachschiebt. Erklären: Resonanz heißt Anregung mit der Eigenfrequenz; die Rückkopplung ersetzt den äußeren Erreger durch Selbststeuerung. Modellgrenze: Auch die Meißner-Schaltung erzeugt keine Energie — sie dosiert nur die Nachlieferung aus der Quelle. Vorbereitung oder Nachbereitung: der Radio-Empfänger-Artikel in der App — dort wählt genau diese Resonanz aus allen Sendern einen aus. Station 3 — Dipol und Mikrowellenstrecke. Vermuten: Kommt hinter einem Drahtgitter, dessen Stäbe parallel zum Empfangsdipol stehen, noch Signal an? Und wo liegen vor einer Metallwand die stillen Stellen? Beobachten: Sender und Empfänger nur bei paralleler Ausrichtung gekoppelt (lineare Polarisation); das gedrehte Gitter sperrt bzw. öffnet den Weg. Vor der Metallplatte findet der wandernde Empfangsdipol Knoten im Abstand von etwa 1,6 cm — stehende Welle, λ = 3,2 cm; das Sandprisma knickt den Strahl (Brechung). Erklären: Der schwingende Dipol strahlt eine Transversalwelle ab, die sich wie Licht reflektieren, brechen und polarisieren lässt; aus dem Knotenabstand folgt λ = 2 · 1,6 cm. Modellgrenze: Das Empfangssignal misst Intensität, nicht Feldstärke — Knoten heißt "kein Empfang", nicht "kein Feld dahinter". Sicherheitshinweis: Nicht in die Hornantenne blicken. Station 4 — Laser und Gitter. Vermuten: Das Gitter mit der kleineren Gitterkonstante — rücken seine Leuchtpunkte enger oder weiter auseinander? Beobachten: Hinter dem Gitter erscheint eine Reihe scharfer Maxima; mit Maßband und Schirm-Maßstab werden Abstände gemessen und über b·sin(α) = k·λ die Laserwellenlänge bestimmt, dann eine unbekannte Lichtquelle vermessen. Erklären: Gleiche Interferenzlogik wie bei den Mikrowellen in Station 3 — nur ist λ hier um den Faktor 50 000 kleiner, darum braucht es Gitter statt Metallplatten. Sicherheitshinweis: Laser nie in Augen oder auf reflektierende Flächen richten, Strahl unter Augenhöhe führen. Abschluss in der Runde: Eine Kette bilden — LC-Kreis, offener Kreis als Dipol, abgestrahlte Welle, Licht. An welcher Stelle der Kette wurde welche Größe (f, λ, c) gemessen, und passt c = λ·f?

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4–16

Der Schwingkreis pendelt — aber wie schnell? Bevor wir rechnen, wette: Was bestimmt die Schwingungsdauer? Größerer Kondensator — schneller oder langsamer? Größere Spule?

Die Antwort steckt in zwei Zeilen Physik, die du beide schon kennst. Im Kreis ohne äußere Quelle muss die Gesamtspannung verschwinden (Maschenregel):

Mit wird daraus eine Gleichung, in der die Ladung und ihre zweite Ableitung stehen:

Halte hier kurz an, denn diese Form hast du schon einmal gesehen — beim Federpendel: . „Beschleunigung proportional zur negativen Auslenkung" ist die Signatur jeder harmonischen Schwingung. Die Übersetzung aus dem Energiependel trägt bis in die Formeln: und . Wer die mechanische Lösung kennt, kann die elektrische abschreiben.

Der Lösungsansatz ist derselbe wie dort — wir raten eine Sinusform und prüfen sie:

Eingesetzt: soll für alle Zeiten gelten — das erzwingt . Damit ist die Schwingungsdauer festgelegt, und wir haben die Thomson-Gleichung:

Lies die Formel, bevor du sie benutzt. Große Induktivität — träger Strom — langsame Schwingung. Große Kapazität — viel Ladung pro Volt, das Umladen dauert — ebenfalls langsam. Und beides steht unter der Wurzel: Wer die Schwingungsdauer verdoppeln will, muss oder vervierfachen. Prüfe genau das im Applet:

Verstelle L und C und beobachte, wie sich die Schwingung dehnt. Die gestrichelte Marke sitzt bei t = T; die Anzeigen geben T und f₀ an.

Stelle , ein und lies ab. Nun vervierfache auf — die Periode hat sich nur verdoppelt, die Wurzel wirkt. Und die Symmetrie der Formel heißt: und sind austauschbar — schwingt exakt so langsam wie .

Hält die Formel der Wirklichkeit stand? Im Eingangsversuch des vorigen Abschnitts (große Spule, großer Kondensator) liefert sie ; gemessen wurden etwa . Die kleine Abweichung geht auf die Dämpfung und die nicht ideale Spule — für eine Formel, die aus zwei Zeilen Maschenregel folgt, ist das eine bemerkenswert gute Vorhersage.

Und nach oben? Ein UKW-Empfangskreis braucht . Mit verlangt die Formel

— eine „Spule" aus nur noch wenigen Windungen. Hohe Frequenzen erzwingen winzige und . Treibt man diesen Gedanken auf die Spitze — die Spule zur einzelnen Leiterschleife geschrumpft, der Kondensator zu zwei Stummeln aufgebogen —, bleibt am Ende ein gerader Metallstab übrig. Was dieser Stab kann, zeigt der Hertzsche Dipol.

Materialien (1)

Physische Manipulativa, die dieses Konzept konkret verankern — optional, gebrückt zum Symbol.

Voraussetzungen (2)

Der elektromagnetische Schwingkreis
Klasse 12
›
Wellen – Grundlagen
Klasse 11
›
Leicht
Multiple Choice #1 30s ▶ Testen

Welche Differentialgleichung beschreibt die ungedämpfte Schwingung im LC-Kreis?

  • ● L·Q̈ + Q/C = 0
  • ○ L·Q̇ + Q·C = 0
  • ○ L·Q̈ − Q/C = 0
  • ○ C·Q̈ + Q/L = 0
Aus U_C + U_L = 0 folgt mit U_L = L·Q̈ und U_C = Q/C die Gleichung L·Q̈ + Q/C = 0. Sie hat dieselbe Form wie die Gleichung der mechanischen Federschwingung.
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Aus welcher physikalischen Aussage wird die Differentialgleichung des Schwingkreises gewonnen?

  • ● Die Summe U_C + U_L ist null, da von außen keine Spannung anliegt
  • ○ Der Strom ist in jedem Moment proportional zur Ladung
  • ○ Die Energie des Kondensators ist stets größer als die der Spule
  • ○ Der ohmsche Widerstand erzwingt eine konstante Spannung
Im geschlossenen LC-Kreis ohne Quelle muss die Gesamtspannung verschwinden. Aus U_C = −U_L folgt direkt die Schwingungsgleichung.
Multiple Choice #3 30s ▶ Testen

Welcher Lösungsansatz erfüllt die Gleichung L·Q̈ + Q/C = 0?

  • ● Q(t) = Q₀·sin(ωt + φ) mit ω = 1/√(LC)
  • ○ Q(t) = Q₀·e^(−t/RC)
  • ○ Q(t) = Q₀·t² mit beliebigem Q₀
  • ○ Q(t) = Q₀·sin(ωt + φ) mit ω = √(LC)
Einsetzen des Sinusansatzes liefert die Bedingung −Lω² + 1/C = 0, also ω = 1/√(LC). Die Exponentialfunktion beschreibt dagegen die Entladung über einen Widerstand.
Wahr / Falsch #4 25s ▶ Testen

Verdoppelt man die Induktivität L eines Schwingkreises, so verdoppelt sich auch die Schwingungsdauer T.

✓ Falsch
Falsch! T = 2π√(LC) wächst nur mit der Wurzel aus L. Bei doppeltem L wird T um den Faktor √2 ≈ 1,41 größer.
Multiple Choice #5 15s ▶ Testen

Wie erreicht man mit einem Schwingkreis besonders hohe Eigenfrequenzen?

  • ● Induktivität und Kapazität möglichst klein wählen
  • ○ Induktivität und Kapazität möglichst groß wählen
  • ○ Nur den ohmschen Widerstand verkleinern
  • ○ Die Spannung am Kondensator erhöhen
Wegen f₀ = 1/(2π√(LC)) steigt die Frequenz, wenn L und C sinken. Genau dieser Weg führt später vom Schwingkreis zum Hertzschen Dipol.
Mittel
Zahleneingabe #1 45s ▶ Testen

Berechne die Kreisfrequenz ω = 1/√(L·C) eines Schwingkreises mit L = 0,25 H und C = 1 µF. (Antwort in 1/s)

✓ Antwort: 2000
L·C = 0,25 · 10⁻⁶ = 2,5·10⁻⁷, also √(LC) = 5·10⁻⁴ s. Damit ist ω = 1/(5·10⁻⁴ s) = 2000 1/s.
Zahleneingabe #2 45s ▶ Testen

Berechne die Schwingungsdauer T = 2π·√(L·C) für L = 1 H und C = 1 µF. (Antwort in Millisekunden, eine Dezimalstelle)

✓ Antwort: 6.3
√(LC) = √(10⁻⁶) s = 10⁻³ s. Damit ist T = 2π·10⁻³ s ≈ 6,3 ms.
Wahr / Falsch #3 25s ▶ Testen

Beim Eingangsversuch liefert die Thomson-Gleichung T_theor = 0,9 s, gemessen wird T_exp ≈ 1 s. Diese Abweichung widerlegt die Thomson-Gleichung.

✓ Falsch
Falsch! Die Messung bestätigt die Vorhersage in guter Näherung. Die kleine Abweichung erklärt sich durch Dämpfung und Bauteiltoleranzen — nicht durch einen Fehler der Gleichung.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Welche mechanische Größe übernimmt in der Analogie zur Federschwingung die Rolle der Induktivität L?

  • ● Die Masse m
  • ○ Die Federkonstante D
  • ○ Die Auslenkung y
  • ○ Die Reibungskraft
Der Vergleich der Schwingungsgleichungen zeigt m ↔ L und D ↔ 1/C. So wird aus T = 2π√(m/D) die Thomson-Gleichung T = 2π√(LC).
Lückentext #5 15s ▶ Testen

Die Frequenz, mit der ein sich selbst überlassener Schwingkreis schwingt, heißt ___.

✓ Antwort: Eigenfrequenz
Jedes schwingungsfähige System schwingt ohne äußere Einwirkung mit seiner Eigenfrequenz f₀. Beim Schwingkreis ist sie durch L und C festgelegt.
Schwer
Zahleneingabe #1 50s ▶ Testen

Ein Schwingkreis besteht aus L = 1 H und C = 1 µF. Berechne die Eigenfrequenz f₀ = 1/(2π·√(LC)). (Antwort in Hertz, auf ganze Zahl gerundet)

✓ Antwort: 159
√(LC) = 10⁻³ s, also f₀ = 1/(2π·10⁻³ s) ≈ 159 Hz. Die Eigenfrequenz ist der Kehrwert der Schwingungsdauer T ≈ 6,3 ms.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Schwingkreis hat die Schwingungsdauer T = 2 ms. Seine Kapazität wird vervierfacht. Berechne die neue Schwingungsdauer. (Antwort in Millisekunden)

✓ Antwort: 4
T wächst mit √C. Vervierfachen von C verdoppelt √C und damit T — die neue Schwingungsdauer beträgt 4 ms.
Zahleneingabe #3 50s ▶ Testen

Ein Schwingkreis soll mit ω = 1000 1/s schwingen und enthält L = 1 H. Berechne die nötige Kapazität C = 1/(ω²·L). (Antwort in Mikrofarad)

✓ Antwort: 1
C = 1/(ω²·L) = 1/(10⁶ · 1) F = 10⁻⁶ F. Das entspricht 1 µF — so stellt man Frequenzbereiche gezielt über die Bauteilwahl ein.