Symmetrie am Term

Symmetry of a term

Mathematik Klasse 11 18 Aufgaben
FunktionenSymmetrieGraphen

Ob ein Graph symmetrisch zur y-Achse oder zum Ursprung ist, entscheidet der Term: Setzt man −x ein und kommt f(x) heraus, ist er achsensymmetrisch; kommt −f(x) heraus, ist er punktsymmetrisch. Die Prüfung gilt für alle x, ein Wertepaar bestätigt nichts, ein Gegenbeispiel widerlegt. Der Abschnitt räumt aus, dass eine Stelle mit f(−2) = f(2) schon Achsensymmetrie beweist, dass eine Konstante die Symmetrie zerstört und dass x² + x „halb“ symmetrisch sei (Leinhardt u. a. 1990: Graph und Term). Er bereitet die Symmetrie als Abkürzung in der Kurvendiskussion und das Spiegeln der Graphen vor.

Symmetrie zur y-Achse

Ein Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn sein Spiegelbild an der y-Achse wieder derselbe Graph ist. Am Term prüft man das, indem man x durch −x ersetzt und vereinfacht. Kommt wieder f(x) heraus, gilt für alle x der Definitionsmenge. Beispiel: ergibt . Ein einzelnes Wertepaar reicht als Beweis nicht aus; die Gleichung muss für jedes x stimmen. Bei Summen von Potenzen hilft der Blick auf die Exponenten: Nur gerade Exponenten (die Konstante zählt als ) bedeuten Achsensymmetrie. Geometrisch heißt das: Zu jedem Punkt des Graphen gehört auch .

Setze k = 0 und verschiebe x₀. Wann liegen P und Q auf gleicher Höhe?

Punktsymmetrie und Gegenbeispiele

Punktsymmetrisch zum Ursprung ist ein Graph, wenn er bei einer Drehung um 180° um den Ursprung in sich übergeht. Am Term heißt das : Alle Vorzeichen kippen, zu jedem Punkt gehört auch . Beispiel: ergibt . Bei dagegen ist , und das ist weder noch . Zum Widerlegen genügt ein Gegenbeispiel: , aber . Auch ein Term wie , der gerade und ungerade Exponenten mischt, hat keine der beiden Symmetrien.

Setze k = 0 und verschiebe x₀. Wo läuft die Verbindung von P und Q durch den Ursprung?
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welche dieser Funktionen hat einen Graphen, der symmetrisch zur y-Achse ist?

  • ● f(x) = x⁴ − 2x²
  • ○ f(x) = x³ − 2x
  • ○ f(x) = x² − 2x
Gerade Potenzen ändern sich beim Einsetzen von −x nicht: (−x)⁴ − 2(−x)² = x⁴ − 2x² = f(x). Bei x³ − 2x kippt das Vorzeichen (das ist Punktsymmetrie), bei x² − 2x wird aus −2x ein +2x: keine der beiden Symmetrien.
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Von einem Graphen ist nur die rechte Hälfte gezeichnet. Er ist symmetrisch zur y-Achse. Welcher weitere Punkt liegt auf ihm?

  • ● (−2 | 4)
  • ○ (−2 | −4)
  • ○ (4 | 2)
Die Spiegelung an der y-Achse ändert nur das Vorzeichen der x-Koordinate: aus P(2 | 4) wird (−2 | 4). (−2 | −4) wäre der Punkt bei Punktsymmetrie, (4 | 2) vertauscht die Koordinaten.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = x² + 5 ist symmetrisch zur y-Achse.

✓ Wahr
f(−x) = (−x)² + 5 = x² + 5 = f(x). Die Konstante 5 ist x⁰ mit geradem Exponenten und zerstört die Symmetrie nicht; sie verschiebt den Graphen nur nach oben.
Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Der abgebildete Graph gehört zu einer Funktion f mit f(−x) = f(x).

✓ Wahr
Der Graph ist symmetrisch zur y-Achse: Das linke Tal ist das Spiegelbild des rechten. Zu jedem Punkt (x | y) gehört auch (−x | y), das ist f(−x) = f(x).
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Welche dieser Funktionen hat einen Graphen, der symmetrisch zum Ursprung ist?

  • ● f(x) = x³ − 3x
  • ○ f(x) = x⁴ − 3x²
  • ○ f(x) = x³ − 3x + 1
f(−x) = (−x)³ − 3(−x) = −x³ + 3x = −f(x). x⁴ − 3x² bleibt gleich (Achsensymmetrie), und das + 1 in x³ − 3x + 1 gehört nicht mit gekippt: f(−x) = −x³ + 3x + 1 ist weder f(x) noch −f(x).
Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Von einem Graphen ist nur die rechte Hälfte gezeichnet. Er ist symmetrisch zum Ursprung. Welcher weitere Punkt liegt auf ihm?

  • ● (−2 | −2)
  • ○ (−2 | 2)
  • ○ (2 | −2)
Punktsymmetrie kippt beide Koordinaten: aus P(2 | 2) wird (−2 | −2). (−2 | 2) wäre der Punkt bei Achsensymmetrie zur y-Achse, (2 | −2) der Spiegelpunkt an der x-Achse.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Der abgebildete Graph ist symmetrisch zum Ursprung. Welche Funktion gehört zu ihm?

  • ● f(x) = x³ − 4x
  • ○ f(x) = x³ − 4x + 2
  • ○ f(x) = x⁴ − 4x²
Der Graph geht durch den Ursprung und hat die Nullstellen −2, 0 und 2: x³ − 4x = x(x − 2)(x + 2). Mit + 2 wäre er um 2 nach oben verschoben, und x⁴ − 4x² wäre W-förmig.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = 1/x ist symmetrisch zum Ursprung.

✓ Wahr
f(−x) = 1/(−x) = −1/x = −f(x). Auch außerhalb der Potenzsummen gilt der Test mit −x: Er zeigt Punktsymmetrie der Hyperbel.
Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Ein Schüler rechnet für f(x) = x³ + 1 zwei Werte: f(1) = 2 und f(−1) = 0. Was folgt daraus für die Symmetrie?

  • ● Der Graph hat keine der beiden Symmetrien.
  • ○ Keine Aussage möglich, eine Stelle genügt nicht.
  • ○ Nur die Achsensymmetrie ist widerlegt, die Punktsymmetrie bleibt möglich.
Es ist f(−1) = 0, aber weder f(1) = 2 noch −f(1) = −2. Beide Gleichungen sind an derselben Stelle verletzt, und ein einziges x genügt als Gegenbeispiel. Nur das Bestätigen braucht alle x.
Wahr / Falsch #10 15s ▶ Testen

Wenn f(−2) = f(2) gilt, ist der Graph von f symmetrisch zur y-Achse.

✓ Falsch
Ein Wertepaar bestätigt nichts. Für f(x) = x³ − 4x ist f(−2) = 0 = f(2), aber f(−1) = 3 und f(1) = −3: Der Graph ist punktsymmetrisch, nicht achsensymmetrisch.
Wahr / Falsch #11 15s ▶ Testen

Der abgebildete Graph von f(x) = x³ + 1 ist symmetrisch zum Ursprung.

✓ Falsch
Ein Graph, der symmetrisch zum Ursprung ist und bei x = 0 definiert ist, muss durch den Ursprung gehen. Hier ist f(0) = 1: Der Graph von x³ ist um 1 nach oben verschoben, und f(1) = 2, f(−1) = 0 zeigen es.
Mittel
Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Für f(x) = 2x⁴ − 5x² gilt f(−x) = 2x⁴ + c · x². Welchen Wert hat c?

✓ Antwort: -5
Beim Einsetzen von −x bleiben gerade Potenzen unverändert: (−x)⁴ = x⁴ und (−x)² = x². Also ist c = −5, und f(−x) = f(x).
Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Für f(x) = 2x³ + 4x gilt f(−x) = −2x³ + c · x. Welchen Wert hat c?

✓ Antwort: -4
Ungerade Potenzen ändern beim Einsetzen von −x das Vorzeichen: (−x)³ = −x³ und −x bleibt −x. Also ist c = −4, und f(−x) = −2x³ − 4x = −f(x).
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Für f(x) = x³ + 1 soll geprüft werden, ob f(−1) = −f(1) gilt. Berechne dazu f(1) + f(−1).

✓ Antwort: 2
f(1) = 2 und f(−1) = 0, also f(1) + f(−1) = 2. Weil das nicht 0 ist, gilt f(−1) = −f(1) nicht.
Schwer
Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

f(x) = x⁴ − 3x² ist symmetrisch zur y-Achse, und es gilt f(1,5) = −1,6875. Wie groß ist f(−1,5)?

✓ Antwort: -1.6875
Bei Achsensymmetrie ist f(−x) = f(x), also f(−1,5) = f(1,5) = −1,6875. Das Vorzeichen bleibt, denn nur die Stelle wird gespiegelt, nicht der Funktionswert.
Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

f(x) = x³ − 3x ist symmetrisch zum Ursprung, und es gilt f(1,5) = −1,125. Wie groß ist f(−1,5)?

✓ Antwort: 1.125
Bei Punktsymmetrie ist f(−x) = −f(x), also f(−1,5) = −f(1,5) = 1,125. Stelle und Funktionswert wechseln beide das Vorzeichen.
Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Für welchen Wert von c ist der Graph von f(x) = x³ + c symmetrisch zum Ursprung?

✓ Antwort: 0
f(−x) = −x³ + c muss gleich −f(x) = −x³ − c sein, also c = −c und damit c = 0. Jede Konstante ungleich 0 zerstört die Punktsymmetrie.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Untersuche f(x) = x⁵ − 4x³ + x und g(x) = x⁴ − 2x + 3 auf Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung. Setze jeweils −x ein und vereinfache. Bei einer Funktion, die keine Symmetrie hat, zeige es mit einem Gegenbeispiel. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: f(−x) = (−x)⁵ − 4(−x)³ + (−x) = −x⁵ + 4x³ − x = −f(x): f ist punktsymmetrisch zum Ursprung. g(−x) = (−x)⁴ − 2(−x) + 3 = x⁴ + 2x + 3, das ist weder g(x) noch −g(x). Gegenbeispiel: g(1) = 2, g(−1) = 6, und 6 ≠ 2, 6 ≠ −2: keine der beiden Symmetrien.
f hat nur ungerade Exponenten: alle Vorzeichen kippen. Bei g wird aus −2x ein +2x, die Konstante bleibt: weder f(−x) = f(x) noch f(−x) = −f(x).