Umkehraufgaben und Gleichungen

Inverse tasks and equations

Mathematik Klasse 5 24 Aufgaben
GleichungenUmkehraufgabeGanze Zahlen

Bei a + x = b, x − a = b und a − x = b fehlt eine Zahl. Man findet sie durch systematisches Probieren oder mit der Umkehraufgabe: x = b − a, x = b + a, x = a − b. Am Zahlenstrahl ist x ein Pfeil zwischen a und b; die Probe setzt x ein und prüft beide Seiten. Räumt den häufigsten Fehler aus: a − x = b wie x − a = b zu lösen (x = b − a). Bereitet das Lösen von a · x = b (Kurs „Ganze Zahlen multiplizieren und dividieren“) und die Äquivalenzumformungen der 7. Jahrgangsstufe vor.

Die Lücke suchen

Bei fehlt der zweite Summand. Du kannst probieren: Bei x = 9 stimmt es. Sicherer ist die Umkehraufgabe: Am Zahlenstrahl fragst du, wie weit es von −4 bis 5 ist. Das ist eine Subtraktion: . Allgemein wird aus die Umkehraufgabe .

Fehlt der Minuend, macht die Umkehraufgabe das Abziehen rückgängig: heißt . Aus wird .

Warum funktioniert das? Addieren und Subtrahieren machen einander rückgängig. Bei kleinen Zahlen genügt oft Probieren, bei größeren führt die Umkehraufgabe schneller zum Ziel.

Systematisch probieren heißt: Du legst eine Probiertabelle an, rechnest für jeden Versuch die linke Seite aus und vergleichst sie mit der rechten. Bei ergibt x = 0 den Wert 9, das ist zu groß; x = −10 ergibt −1, das ist zu klein. Die Lösung liegt also dazwischen, und x = −5 trifft: . Der Treffer ist zugleich die Probe.

Stelle a und b ein. Der violette Pfeil ist die gesuchte Zahl x.

Probe und Tücke

Steht die Unbekannte hinten, wie in , führt „b − a“ in die Irre. Der Pfeil „− x“ führt von a nach b, also ist x der Abstand von b bis a: . Aus wird , nicht .

Prüfe jede Lösung mit der Probe: Setze x ein, beide Seiten müssen denselben Wert haben. Für x = 5 gilt . Wer „b − a“ rechnet, erhält x = −5, und ist nicht −3.

Merke dir den Unterschied: Steht x vorn (), addierst du a. Steht x hinten (), rechnest du „a minus b“.

Ändere a und b. Der orange Pfeil „− x“ führt von a nach b, der violette Pfeil x von b nach a.

Voraussetzungen (1)

Subtrahieren: die Gegenzahl addieren
Klasse 5
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welche Umkehraufgabe gehört zu −4 + x = 5?

  • ● 5 − (−4)
  • ○ 5 + (−4)
  • ○ −4 − 5
Bei a + x = b fehlt der zweite Summand. Man rechnet b − a: 5 − (−4) = 9. Zur Kontrolle: −4 + 9 = 5. 5 + (−4) = 1 und −4 − 5 = −9 lösen die Gleichung nicht.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Auf der Zahlengeraden stehen a = −3 und b = 4. Welche Zahl muss man für x in a + x = b einsetzen?

  • ● 7
  • ○ 1
  • ○ −7
x ist die Länge des Pfeils von a nach b: 4 − (−3) = 7 Schritte nach rechts. Die 1 entsteht, wenn man −3 + 4 rechnet; −7 hätte den Pfeil in die falsche Richtung.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Welche Umkehraufgabe gehört zu x − 3 = −7?

  • ● −7 + 3
  • ○ −7 − 3
  • ○ 3 − (−7)
Bei x − a = b wird a abgezogen. Um x zu finden, gibst du a wieder dazu: x = b + a = −7 + 3 = −4. −7 − 3 = −10 und 3 − (−7) = 10 vertauschen oder wiederholen die Subtraktion.
Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Bei x − 5 = 2 ist x = −3.

✓ Falsch
Um das Abziehen von 5 rückgängig zu machen, addierst du 5: x = 2 + 5 = 7. Die Probe: 7 − 5 = 2. Die −3 entstehen durch 2 − 5.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Welche Umkehraufgabe gehört zu 2 − x = 6?

  • ● 2 − 6
  • ○ 6 − 2
  • ○ 6 + 2
Bei a − x = b steht die gesuchte Zahl hinten. Aus 2 − x = 6 folgt 2 = 6 + x, also x = 2 − 6 = −4. Probe: 2 − (−4) = 6. 6 − 2 = 4 vertauscht Minuend und Ergebnis, 6 + 2 = 8 addiert sie einfach.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Die Zeichnung zeigt a − x = b mit a = 2 und b = −3. Wie groß ist x?

  • ● 5
  • ○ −5
  • ○ 1
Der Pfeil „− x“ führt von a = 2 nach b = −3, das sind 5 Schritte nach links. Also wird 5 abgezogen: x = a − b = 2 − (−3) = 5. Die −5 ergäben sich aus b − a, und 1 aus 2 + (−3).
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Welche Probe zeigt, dass x = −7 die Gleichung 3 − x = 10 löst?

  • ● 3 − (−7) = 10
  • ○ 3 − 7 = 10
  • ○ 3 + (−7) = 10
Bei der Probe wird x = −7 an der Stelle von x eingesetzt, also 3 − (−7) = 3 + 7 = 10. Bei 3 − 7 fehlt das Vorzeichen, 3 + (−7) hat das Rechenzeichen geändert.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Für −4 + x = 5 ist x = 1 richtig, denn −4 + 1 = 5.

✓ Falsch
−4 + 1 = −3, nicht 5. Die Probe zeigt, dass x = 1 keine Lösung ist; richtig ist x = 9.
Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Probiertabelle zu x − 7 = −2: x = 3 ergibt −4 (zu klein), x = 6 ergibt −1 (zu groß). Welche Zahl probierst du als Nächstes?

  • ● 5
  • ○ 8
  • ○ 2
x = 3 ist zu klein, x = 6 zu groß: Die Lösung liegt dazwischen. x = 5 trifft, denn 5 − 7 = −2. Die 8 liegt hinter dem Versuch, der schon zu groß war, die 2 vor dem, der schon zu klein war.
Wahr / Falsch #10 15s ▶ Testen

Probiertabelle zu 12 + x = 4: x = −5 ergibt 7 (zu groß). Als Nächstes probierst du eine größere Zahl, zum Beispiel x = −2.

✓ Falsch
12 + (−5) = 7 ist schon zu groß, also muss x kleiner werden, nicht größer: x = −2 ergäbe 10. Mit x = −8 trifft man: 12 + (−8) = 4.
Multiple Choice #11 20s ▶ Testen

Probiertabelle zu −9 + x = 6: Welcher Versuch trifft?

  • ● x = 15
  • ○ x = −3
  • ○ x = −15
Einsetzen und vergleichen: −9 + 15 = 6, das trifft. −9 + (−3) = −12 und −9 + (−15) = −24 sind weit weg. Die −3 entsteht, wenn man 6 + (−9) rechnet, statt den fehlenden Summanden zu suchen.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Bestimme x: −7 + x = 2

✓ Antwort: 9
Umkehraufgabe: x = 2 − (−7) = 2 + 7 = 9. Probe: −7 + 9 = 2.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Bestimme x: x − 9 = −4

✓ Antwort: 5
x = −4 + 9 = 5. Probe: 5 − 9 = −4.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Bestimme x: 5 − x = 8

✓ Antwort: -3
x = a − b = 5 − 8 = −3. Probe: 5 − (−3) = 5 + 3 = 8.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Setze x = −3 in den Term 5 − x ein. Welchen Wert hat 5 − x?

✓ Antwort: 8
5 − (−3) = 5 + 3 = 8.
Zahleneingabe #5 30s ▶ Testen

Probiertabelle zu x + 14 = 5: x = −5 ergibt 9 (zu groß), x = −10 ergibt 4 (zu klein). Welche Zahl dazwischen trifft?

✓ Antwort: -9
Die Lösung liegt zwischen −10 und −5. x = −9: −9 + 14 = 5, das trifft. Der Treffer ist zugleich die Probe.
Zahleneingabe #6 30s ▶ Testen

Probiertabelle zu 8 − x = 13: x = 2 ergibt 6, x = −2 ergibt 10. Beides ist zu klein. Welche Zahl trifft?

✓ Antwort: -5
Hier wird x abgezogen: Je kleiner x, desto größer 8 − x. Von x = 2 zu x = −2 wuchs das Ergebnis um 4, es fehlen noch 3. Also x = −5: 8 − (−5) = 13.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Konto steht bei −35 €. Wie viel Euro müssen eingezahlt werden, damit es 20 € Guthaben hat?

✓ Antwort: 55
Gesucht ist x in −35 + x = 20. Umkehraufgabe: x = 20 − (−35) = 55. Es müssen 55 € eingezahlt werden (35 € gleichen die Schulden aus, 20 € bleiben).
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Die Temperatur ist um 8 Grad gefallen und beträgt jetzt −3 °C. Wie viel °C waren es vorher?

✓ Antwort: 5
Gesucht ist x in x − 8 = −3. Umkehraufgabe: x = −3 + 8 = 5. Vorher waren es 5 °C (5 − 8 = −3).
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Bea hat 5 € Guthaben. Nach einer Abbuchung von x € steht ihr Konto bei −4 €. Wie hoch war die Abbuchung (in €)?

✓ Antwort: 9
Gesucht ist x in 5 − x = −4. Umkehraufgabe: x = 5 − (−4) = 9. Probe: 5 − 9 = −4.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Löse mit der Umkehraufgabe und mache jeweils die Probe: (a) −6 + x = 3, (b) x − 4 = −9, (c) 5 − x = −2. Schreibe zu jeder Gleichung die Umkehraufgabe auf. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: (a) x = 3 − (−6) = 9; Probe −6 + 9 = 3. (b) x = −9 + 4 = −5; Probe −5 − 4 = −9. (c) x = 5 − (−2) = 7; Probe 5 − 7 = −2.
(a) a + x = b: x = b − a. (b) x − a = b: x = b + a. (c) a − x = b: x = a − b, nicht b − a. Die Probe setzt x ein und prüft, ob die linke Seite den Wert der rechten hat.
Zahleneingabe #5 30s ▶ Testen

Welche der Zahlen −4, 2, 9 ist eine Lösung von x − 5 = 4? Gib die Lösung an.

✓ Antwort: 9
Probe: −4 − 5 = −9, 2 − 5 = −3, 9 − 5 = 4. Nur x = 9 erfüllt die Gleichung.
Zahleneingabe #6 30s ▶ Testen

Mia denkt sich eine Zahl und addiert −17. Sie erhält 25. Probiere systematisch, zum Beispiel mit x = 40 und x = 45. Welche Zahl hat sie gedacht?

✓ Antwort: 42
Gesucht ist x in x + (−17) = 25. x = 40 ergibt 23 (zu klein), x = 45 ergibt 28 (zu groß), x = 42 ergibt 25. Probe: 42 + (−17) = 25.
Zahleneingabe #7 30s ▶ Testen

Am Morgen zeigt das Thermometer −13 °C, am Mittag 18 °C. Um wie viel Grad ist es wärmer geworden? Probiere systematisch mit −13 + x = 18.

✓ Antwort: 31
x = 20 ergibt 7 (zu klein), x = 30 ergibt 17 (zu klein), x = 35 ergibt 22 (zu groß). Also liegt x zwischen 30 und 35: x = 31 ergibt 18. Probe: −13 + 31 = 18. Es ist 31 Grad wärmer geworden.