Vollständige Induktion

Mathematical Induction

Mathematik Klasse 11 20 Aufgaben
BeweisInduktionSummenformelnKerncurriculum

Vollständige Induktion beweist eine Aussage A(n) für alle natürlichen Zahlen durch zwei Teile: Induktionsanfang (A(1) gilt) und Induktionsschritt (aus A(n) folgt A(n+1)) — das Bild der Dominokette. Angewendet auf Summenformeln über Folgen (etwa 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2) und einfache Ungleichungen. Beide Teile sind nötig — ein Schritt ohne Anfang beweist nichts, ein Anfang ohne Schritt auch nicht —, und die Annahme A(n) im Schritt zu benutzen ist kein Zirkelschluss (die häufigste Verständnishürde).

Voraussetzungen (1)

Zahlenfolgen
Klasse 11
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Leicht
Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Welche zwei Schritte umfasst ein Beweis durch vollständige Induktion?

  • ● Induktionsanfang (Basisfall) und Induktionsschritt (n → n+1)
  • ○ Vermutung und ÜberprĂźfung
  • ○ Analyse und Synthese
  • ○ These und Antithese
Vollständige Induktion besteht aus: (1) Zeige die Aussage fßr n = 1 (Induktionsanfang), (2) Zeige: wenn sie fßr n gilt, dann auch fßr n+1 (Induktionsschritt).
Wahr / Falsch #2 10s ▶ Testen

Beim Induktionsschritt nimmt man an, dass die Aussage fĂźr ein festes n gilt (Induktionsvoraussetzung).

✓ Wahr
Richtig. Die Induktionsvoraussetzung (IV) ist die Annahme, dass die Aussage fĂźr n wahr ist. Daraus wird die GĂźltigkeit fĂźr n+1 gefolgert.
Lückentext #3 10s ▶ Testen

Induktionsanfang für die Formel 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2: Für n = 1 ist die linke Seite 1, die rechte Seite 1·2/2 = ___.

✓ Antwort: 1
1¡2/2 = 1. Beide Seiten stimmen ßberein, der Induktionsanfang ist bestätigt.
Zahleneingabe #4 10s ▶ Testen

Beweise per Induktion: 1 + 3 + 5 + … + (2n−1) = n². Prüfe den Induktionsanfang für n = 1: Was ist (2·1−1)?

✓ Antwort: 1
2·1 − 1 = 1 und 1² = 1. ✓
Wahr / Falsch #5 10s ▶ Testen

Vollständige Induktion kann nur fßr Summenformeln verwendet werden.

✓ Falsch
Falsch. Induktion kann fĂźr beliebige Aussagen Ăźber natĂźrliche Zahlen verwendet werden: Summenformeln, Ungleichungen, Teilbarkeit, etc.
Zahleneingabe #6 20s ▶ Testen

Die Formel 1² + 2² + … + n² = n(n+1)(2n+1)/6. Berechne die rechte Seite für n = 4.

✓ Antwort: 30
4·5·9/6 = 180/6 = 30. Probe: 1+4+9+16 = 30. ✓
Lückentext #7 10s ▶ Testen

Im Induktionsschritt geht man von der Annahme A(n) zur Behauptung A(___) Ăźber.

✓ Antwort: n+1
Man zeigt: A(n) wahr ⟹ A(n+1) wahr.
Multiple Choice #8 15s ▶ Testen

n² + n + 41 ergibt für n = 1, 2, …, 39 lauter Primzahlen. Was ergibt sich für n = 40?

  • ○ 1681, eine Primzahl
  • ○ 1721, eine Primzahl
  • ● 1681, keine Primzahl
40² + 40 + 41 = 1600 + 40 + 41 = 1681 = 41 · 41 – keine Primzahl. (1721 entsteht durch einen Rechenfehler: 40 doppelt addiert.) Endlich viele Beispiele beweisen keine allgemeine Aussage – das Muster bricht genau hier. Deshalb braucht man einen Beweis für alle n, etwa durch vollständige Induktion.
Wahr / Falsch #9 10s ▶ Testen

Wenn der Induktionsanfang fehlt, ist der Beweis durch vollständige Induktion ungßltig.

✓ Wahr
Richtig. Ohne Induktionsanfang hat man keinen Ausgangspunkt. Beide Teile sind notwendig.
Lückentext #10 10s ▶ Testen

Die Formel 1 + 3 + 5 + … + (2n−1) = n² beschreibt die Summe der ersten n ___ Zahlen.

✓ Antwort: ungeraden
Die Folge 1, 3, 5, 7, … besteht aus den ungeraden natürlichen Zahlen.
Zahleneingabe #11 15s ▶ Testen

Induktionsbeweis: Zeige n! > 2ⁿ für n ≥ 4. Prüfe den Induktionsanfang: Berechne 4!.

✓ Antwort: 24
4! = 24 > 2⁴ = 16. ✓
Zahleneingabe #12 15s ▶ Testen

Berechne 1³ + 2³ + 3³ + 4³ nach der Formel [n(n+1)/2]².

✓ Antwort: 100
[4·5/2]² = [10]² = 100. Probe: 1 + 8 + 27 + 64 = 100. ✓
Wahr / Falsch #13 10s ▶ Testen

Die Induktionsvoraussetzung darf beim Induktionsschritt NICHT verwendet werden.

✓ Falsch
Falsch. Die Induktionsvoraussetzung MUSS im Induktionsschritt verwendet werden — sie ist die Annahme, von der aus man folgert.
Mittel
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Im Induktionsschritt für 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2 addiert man zum Term für n das Glied (n+1). Was ergibt n(n+1)/2 + (n+1)?

  • ● (n+1)(n+2)/2
  • ○ n(n+2)/2
  • ○ (n+1)²/2
  • ○ n(n+1)/2 + 1
n(n+1)/2 + (n+1) = (n+1)¡[n/2 + 1] = (n+1)¡(n+2)/2. Das ist die Formel fßr n+1.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Beweise: 2ⁿ > n für alle n ≥ 1. Im Induktionsschritt: Wenn 2ⁿ > n, dann 2ⁿ⁺¹ = 2·2ⁿ > 2n. Ist 2n > n+1 für n ≥ 1? Ab welchem n gilt 2n ≥ n+1?

✓ Antwort: 1
2n ≥ n+1 ⟺ n ≥ 1. Also gilt 2n > n+1 für n ≥ 1 (sogar 2n ≥ n+1, mit Gleichheit bei n=1). Zusammen: 2ⁿ⁺¹ > n+1.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Welche Aussage lässt sich NICHT durch vollständige Induktion beweisen?

  • ● √2 ist irrational.
  • ○ 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2
  • ○ n! ≥ 2ⁿ⁝š fĂźr n ≥ 1
  • ○ 2ⁿ − 1 ist durch 1 teilbar fĂźr alle n ∈ ℕ
Vollständige Induktion beweist Aussagen über natürliche Zahlen. Die Irrationalität von √2 ist keine Aussage über alle n ∈ ℕ.
Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Die Summe 1/1·2 + 1/2·3 + … + 1/n·(n+1) = n/(n+1). Überprüfe für n = 3: Berechne 1/2 + 1/6 + 1/12 als Bruch. Gib den Zähler an, wenn der Nenner 12 ist.

✓ Antwort: 9
1/2 + 1/6 + 1/12 = 6/12 + 2/12 + 1/12 = 9/12 = 3/4 = n/(n+1). ✓
Lückentext #5 15s ▶ Testen

Der Induktionsanfang für die Teilbarkeitsaussage '6 | (n³ − n) für alle n ≥ 1' ergibt für n = 1: 1³ − 1 = ___.

✓ Antwort: 0
1³ − 1 = 0, und 0 ist durch 6 teilbar. ✓
Wahr / Falsch #6 10s ▶ Testen

Man kann den Induktionsanfang auch bei n = 0 oder einem anderen Startwert n₀ beginnen.

✓ Wahr
Richtig. Die Induktion muss nicht bei n = 1 starten. Der Startwert hängt davon ab, ab welchem n die Aussage gelten soll.
Schwer
Multiple Choice #1 45s ▶ Testen

Im Induktionsschritt für 1³ + 2³ + … + n³ = [n(n+1)/2]² wird (n+1)³ addiert. Das Ergebnis soll [(n+1)(n+2)/2]² ergeben. Welche Zwischenform entsteht?

  • ● [n(n+1)/2]² + (n+1)Âł = (n+1)² ¡ [n²/4 + (n+1)] = (n+1)² ¡ (n+2)²/4
  • ○ [n(n+1)/2]² + (n+1)² = [(n+1)(n+2)/2]²
  • ○ n⁴/4 + (n+1)Âł = (n+2)⁴/4
  • ○ [n(n+1)]² + (n+1)Âł = [(n+1)(n+2)]²
Man klammert (n+1)² aus und zeigt, dass n²/4 + (n+1) = (n² + 4n + 4)/4 = (n+2)²/4.