Angewandte Analysis

Applied Calculus

Mathematik Klasse 13 8 Aufgaben
AnalysisOptimierungAnwendungenKerncurriculum

Voraussetzungen (2)

Flächenberechnung mit Integralen
Klasse 13
›
Extremstellen und Monotonie
Klasse 11
›
Leicht
Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Eine Funktionenschar f_a(x) = x² − ax hat für welchen Wert von a eine Nullstelle bei x = 3?

  • ● a = 3
  • ○ a = 6
  • ○ a = 9
  • ○ a = 0
f_a(3) = 9 − 3a = 0 ⟹ a = 3.
Lückentext #2 10s ▶ Testen

Bei einem Optimierungsproblem lautet der erste Schritt nach der Modellierung: die ___ bilden und gleich null setzen.

✓ Antwort: Ableitung
Um Extremstellen zu finden, bestimmt man die erste Ableitung und setzt sie null: f'(x) = 0.
Wahr / Falsch #3 10s ▶ Testen

Bei einem Optimierungsproblem muss man stets prüfen, ob die gefundene Extremstelle im zulässigen Bereich liegt.

✓ Wahr
Mathematische Extremstellen müssen im Sachkontext sinnvoll sein (z. B. positive Maße, realistischer Wertebereich).
Wahr / Falsch #4 10s ▶ Testen

Bei einer Funktionenschar f_t(x) hängen die Nullstellen im Allgemeinen vom Parameter t ab.

✓ Wahr
Der Parameter beeinflusst den Funktionsverlauf und damit auch die Lage der Nullstellen.
Multiple Choice #5 15s ▶ Testen

Welche Anwendung gehört NICHT typisch zur angewandten Analysis?

  • ● Bestimmung der Wahrscheinlichkeit bei Laplace-Experimenten
  • ○ Kosten- und Gewinnoptimierung
  • ○ Modellierung von Wachstumsprozessen
  • ○ Flächenberechnung zwischen Kurven
Laplace-Wahrscheinlichkeiten werden kombinatorisch berechnet, nicht mit Analysis-Methoden.
Mittel
Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Welchen Satz nutzt man, um zu bestätigen, dass ein gefundener Kandidat tatsächlich ein Maximum (und kein Minimum) ist?

  • ● Das Kriterium der zweiten Ableitung: f''(x₀) < 0 ⟹ Maximum
  • ○ Das Kriterium der zweiten Ableitung: f''(x₀) > 0 ⟹ Maximum
  • ○ Man prüft, ob f(x₀) > 0
  • ○ Man prüft, ob die dritte Ableitung existiert
Ist f'(x₀) = 0 und f''(x₀) < 0, so liegt bei x₀ ein lokales Maximum vor.
Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Die Funktion f_a(x) = x³ − 3ax hat bei x = 2 einen Extremwert. Bestimme a.

✓ Antwort: 4
f'(x) = 3x² − 3a. Extremwert bei x = 2: f'(2) = 12 − 3a = 0 ⟹ a = 4. Probe: f''(2) = 12 > 0, also Minimum.
Schwer
Multiple Choice #1 30s ▶ Testen

Eine offene Dose (ohne Deckel) mit Volumen V = 1 Liter soll minimalen Materialverbrauch haben. Welche Form ist optimal?

  • ○ Ein Zylinder, bei dem Höhe = Radius
  • ○ Ein Zylinder, bei dem Höhe = 2 · Radius
  • ○ Ein Würfel
  • ● Ein Zylinder, bei dem Höhe = Radius / 2
Für eine offene Dose: Oberfläche O = πr² + 2πrh, mit h = V/(πr²). Ableiten und nullsetzen ergibt h = r/2.