Kosinussatz anwenden — SSS, Winkel aus drei Seiten

Applying the Cosine Law — SSS, Angle from Three Sides

Mathematik Klasse 9

GeometrieTrigonometrieKosinussatzAnwendungen

Nach cos γ aufgelöst liefert der Kosinussatz aus drei gegebenen Seiten jeden Innenwinkel, und cos⁻¹ gibt genau eine Lösung zwischen 0° und 180°. Der Schritt zeigt, dass drei Seiten das Dreieck eindeutig festlegen — der Kontrast zum mehrdeutigen SSA-Fall, den der Sinussatz später im Artikel mitbringt.

Sind alle drei Seiten bekannt (SSS), liefert der Kosinussatz nach Umstellung jeden Innenwinkel.

Beispiel: Gegeben $a = 7$ , $b = 5$ , $c = 8$ . Gesucht: γ.

Aus $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab \cdot cos γ$ nach $cos γ$ auflösen:

$cos γ = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 a b} = \frac{49 + 25 - 64}{2 \cdot 7 \cdot 5} = \frac{10}{70} \approx 0, 143$

$γ = cos^{- 1} (0, 143) \approx 81, 8°$

Hier ist nichts mehrdeutig: $cos^{- 1}$ liefert genau einen Winkel zwischen $0°$ und $180°$ , und drei Seiten bestimmen das Dreieck ohnehin eindeutig.

Drei Seiten sind gegeben. Rechne

γ

mit dem Kosinussatz aus: Zeigt die Figur denselben Winkel?

Voraussetzungen (1)

Anwendung des Kosinussatzes

Klasse 9

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