Sinussatz anwenden — SSW, fehlender Winkel

Applying the Sine Law — SSA, Missing Angle

Mathematik Klasse 9

GeometrieTrigonometrieSinussatzAnwendungen

Nach sin β aufgelöst liefert der Sinussatz aus zwei Seiten und einem Gegenwinkel den zweiten Winkel — und hier schlägt die Mehrdeutigkeit zu: zu jedem Sinuswert gehören β und 180° − β. Der Taschenrechner gibt nur den spitzen zurück; welcher gilt, entscheidet die 180°-Winkelsumme. Schließt den Sinussatz-Teil des Artikels ab.

Sind zwei Seiten und ein Winkel bekannt, der einer der Seiten gegenüberliegt, liefert der Sinussatz den Winkel, der zur anderen Seite gehört.

Beispiel: Gegeben $a = 4$ , $b = 3$ , $α = 60°$ . Gesucht: β.

Aus $\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β}$ nach $sin β$ auflösen:

$sin β = \frac{b \cdot sin α}{a} = \frac{3 \cdot sin 60°}{4} = \frac{3 \cdot 0 , 866}{4} \approx 0, 6495$

$β = sin^{- 1} (0, 6495) \approx 40, 5°$

Achtung Mehrdeutigkeit: zu jedem Sinuswert gehören zwei mögliche Winkel — $β$ und $180° - β$ . Welcher gilt, muss die Geometrie zeigen (in diesem Beispiel passt nur der spitze Winkel, denn sonst wäre $α + β > 180°$ ).

Gegeben sind

a

b

und

α

. Rechne

β

selbst aus: Zeigt die Figur denselben Winkel?

Voraussetzungen (1)

Sinussatz anwenden — SWW, fehlende Seite

Klasse 9

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