Wie lang ist eine Küste? — Messschritt und Koch-Kurve

How long is a coastline? — Ruler step and the Koch curve

Mathematik Klasse 8 15 Aufgaben
GeometrieKreiseMessenMaßstabGrenzwerteGeometrische FolgeFraktale

Die Kinder messen denselben Linienzug mit immer kleinerem Messschritt: Beim Kreis wächst das Ergebnis kaum noch und nähert sich π·d, bei einer Küste wächst es weiter (Richardson 1961, Mandelbrot 1967). Die Koch-Kurve macht das nachrechenbar: Jeder Schritt macht den Linienzug 4/3-mal so lang, die Länge wächst ohne Grenze, die umschlossene Fläche bleibt endlich. Räumt die Vorstellung aus, eine Küste habe eine feste Länge, die man nur genau genug messen müsse, und die Erwartung, unendlich viele Schritte müssten sich auf einen Wert einpendeln (Fischbein et al. 1979). Bereitet Folgen und exponentielles Wachstum (Faktor statt Summand) in Klasse 10 vor.

Voraussetzungen (1)

Die Kreiszahl π — Umfang durch Durchmesser
Klasse 8
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Eine 15 cm lange Strecke wird in drei gleiche Teile geteilt. Über dem mittleren Teil wird ein gleichseitiges Dreieck errichtet, seine Grundseite fällt weg (ein Koch-Schritt). Wie lang ist der Linienzug jetzt?

  • ● 20 cm
  • ○ 15 cm
  • ○ 25 cm
Jeder Teil ist 5 cm lang. Übrig sind die beiden äußeren Teile und die zwei schrägen Dreiecksseiten: 4 · 5 cm = 20 cm. Die Zacke macht den Weg länger, nicht nur krummer (15 cm). 25 cm setzt die zwei schrägen Seiten dazu, vergisst aber, dass der mittlere Teil wegfällt.
Wahr / Falsch #2 20s ▶ Testen

Macht man immer weiter Koch-Schritte, kommt die Länge des Linienzugs einem festen Wert immer näher – so wie die Vielecke im Kreis dem Kreisumfang.

✓ Falsch
Falsch. Jeder Schritt vervielfacht die Länge mit 4/3, also wird jeder neue Zuwachs sogar größer als der vorige. Die Länge wächst über jede Grenze. Beim Kreis bleibt jedes Vieleck unter π · d, weil jede Sehne kürzer ist als ihr Bogen – darum nähert sich der Umfang π · d, statt darüber hinauszuwachsen.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Ein Kreis mit 31,4 cm Umfang wird einmal mit 1-cm-Schritten und einmal mit 0,5-cm-Schritten abgemessen. Was kommt heraus?

  • ● Beide Male fast genau 31,4 cm
  • ○ Mit 0,5-cm-Schritten deutlich mehr
  • ○ Mit 0,5-cm-Schritten etwa doppelt so viel
Ein Kreis ist im Kleinen fast gerade: Schon 1-cm-Sehnen liegen dicht am Bogen (zusammen etwa 31,35 cm), halbe Schritte ändern fast nichts. Doppelt so viele Schritte heißen nicht doppelte Länge – jeder Schritt ist ja nur halb so lang.
Wahr / Falsch #4 20s ▶ Testen

Zwei Wander-Apps zeichnen denselben verwinkelten Küstenpfad auf. App A setzt alle 50 m einen GPS-Punkt, App B alle 5 m. App B zeigt eine längere Strecke an – also muss sie sich verrechnet haben.

✓ Falsch
Falsch. Die Apps verbinden ihre Punkte mit geraden Stücken. Mit Punkten alle 50 m werden viele Kurven und Ecken abgeschnitten, mit Punkten alle 5 m folgt die Spur ihnen. Bei einem verwinkelten Weg wird die gemessene Länge mit feinerem Messschritt größer – beide Apps können richtig gerechnet haben.
Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Auf einer Karte im Maßstab 1 : 1 000 000 misst ein Küstenstück 12 cm. Welche Länge hat es in Wirklichkeit – gemessen mit dieser Karte?

  • ● 120 km
  • ○ 12 km
  • ○ 1 200 km
12 cm · 1 000 000 = 12 000 000 cm = 120 000 m = 120 km. 12 km und 1 200 km entstehen beim Umrechnen mit einer Null zu wenig oder zu viel. Und „gemessen mit dieser Karte" heißt: Eine genauere Karte zeigt mehr Buchten und ergibt mehr.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Der Rand der Koch-Schneeflocke wird mit jedem Schritt länger, ohne Grenze. Darum wird auch ihre Fläche unendlich groß.

✓ Falsch
Die Zacken werden immer kleiner und kommen nie über einen Kreis um das Ausgangsdreieck hinaus. Die Fläche wächst nur noch um immer kleinere Stücke und bleibt endlich, der Umfang nicht.
Mittel
Lückentext #1 20s ▶ Testen

Nach dem ersten Koch-Schritt ist ein Linienzug 12 cm lang. Nach dem zweiten Schritt ist er ___ cm lang.

✓ Antwort: 16
Jedes der 4 Stücke wird wieder zu 4 Stücken mit einem Drittel der Länge: Der Linienzug wächst um den Faktor 4/3, 12 · 4/3 = 16 cm. Er wächst nicht jedes Mal um dieselben 3 cm (das wären 15 cm), sondern jedes Mal um ein Drittel des Ganzen.
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

In einen Kreis mit 10 cm Durchmesser werden regelmäßige Vielecke gezeichnet: Das Sechseck hat 30 cm Umfang, das 12-Eck etwa 31,06 cm. Welcher Umfang passt zum 24-Eck?

  • ● Etwa 31,33 cm
  • ○ Etwa 32,12 cm
  • ○ Etwa 62,1 cm
Der Umfang wächst, bleibt aber unter dem Kreisumfang π · 10 cm ≈ 31,42 cm, denn jede Sehne ist kürzer als ihr Bogen. 32,12 cm legt noch einmal dieselben 1,06 cm dazu – das ginge schon über den Kreis hinaus. 62,1 cm verdoppelt den Umfang mit den Ecken, obwohl jede Seite dabei etwa halb so lang wird.
Lückentext #3 20s ▶ Testen

Misst man eine zerklüftete Küste mit immer kleinerem Messschritt, wird das Ergebnis immer ___ — beim Kreis pendelt es sich dagegen ein.

✓ Antwort: größer
Der kleinere Schritt folgt jeder Bucht und jedem Felsen, die der große übersprang. Darum hat eine Küste keine feste Länge; angeben kann man sie nur zusammen mit dem Messschritt.
Lückentext #4 15s ▶ Testen

Bei der Koch-Schneeflocke wächst der Umfang ohne Grenze, die Fläche bleibt ___.

✓ Antwort: endlich
Endlich: Sie kommt beim Ausgangsdreieck mit 9 cm² nie über etwa 14,4 cm² hinaus. Ein unendlich langer Rand kann eine endliche Fläche umschließen.
Schwer
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Nach einem Koch-Schritt ist ein Linienzug 64 cm lang. Wie lang war er vor diesem Schritt?

  • ● 48 cm
  • ○ Etwa 42,7 cm
  • ○ 16 cm
Ein Koch-Schritt vervielfacht die Länge mit 4/3. Rückwärts teilt man durch 4/3, rechnet also mal 3/4: 64 · 3/4 = 48 cm. Probe: 48 · 4/3 = 64. „Ein Drittel von 64 abziehen" (≈ 42,7 cm) nimmt das Drittel vom falschen Ganzen; 16 cm teilt nur durch 4.
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Eine 9 cm lange Strecke bekommt einen Koch-Schritt nach dem anderen. Nach wie vielen Schritten ist der Linienzug zum ersten Mal länger als 20 cm?

  • ● 3
  • ○ 4
  • ○ 2
9 → 12 → 16 → 21⅓ cm: nach 3 Schritten. Wer jedes Mal 3 cm dazuzählt (9, 12, 15, 18, 21), kommt auf 4 Schritte. Nach 2 Schritten sind es erst 16 cm.
Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Eine Linie wird viermal abgemessen, jedes Mal mit halb so langem Messschritt. Welche Messreihe passt zu einer zerklüfteten Felsküste?

  • ● 400 km, 440 km, 485 km, 535 km
  • ○ 400 km, 412 km, 415 km, 416 km
  • ○ 400 km, 200 km, 100 km, 50 km
Mit kürzerem Schritt erfasst man Buchten, über die ein langer Schritt hinwegspringt – und in den Buchten stecken kleinere Buchten. Darum wächst das Ergebnis bei einer Küste immer weiter. Die zweite Reihe pendelt sich ein; so verhält sich eine glatte Linie wie ein Kreis. Die dritte Reihe halbiert die Länge mit dem Schritt – aber die Linie selbst wird ja nicht kürzer.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Ein Quadrat bekommt auf jeder Seite einen Koch-Schritt mit der Zacke nach außen. Aus wie vielen Kanten besteht die Figur danach?

  • ● 16
  • ○ 8
  • ○ 12
Jede der 4 Seiten wird zu 4 Stücken: 4 · 4 = 16 Kanten. 8 zählt nur eine neue Kante pro Seite dazu; 12 teilt jede Seite bloß in Drittel – das mittlere Drittel wird aber durch zwei Stücke ersetzt.
Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Aus einem gleichseitigen Dreieck mit 9 cm² Fläche entsteht durch immer weitere Koch-Schritte eine Schneeflocke. Welche Fläche hat sie nach sehr vielen Schritten ungefähr?

  • ● 14,4 cm²
  • ○ Unendlich viel
  • ○ 12 cm²
Der erste Schritt setzt drei kleine Dreiecke mit je 1/9 der Fläche an: 9 + 3 · 1 = 12 cm². Danach kommen immer mehr, aber immer winzigere Zacken dazu, und die Fläche nähert sich 8/5 · 9 = 14,4 cm². Der Rand wird dagegen beliebig lang – ein unendlich langer Rand kann eine endliche Fläche umschließen. 12 cm² ist erst der Stand nach einem Schritt.