Parameter aus dem Graphen

Parameters from the graph

Mathematik Klasse 8 17 Aufgaben
FunktionenGraphenHyperbel

Aus dem Graphen einer Hyperbel liest man b und c an den Asymptoten ab (x = b, y = c, mit Vorzeichen: bei x + 2 ist b = −2) und bestimmt a aus einem Punkt mit a = (x − b)(y − c); die Probe mit einem zweiten Punkt liefert dasselbe Produkt. Die Station räumt das Vertauschen von b und c, die Vorzeichenfehler und die Rechnung a = x · y ohne Kreuz aus (Zazkis, Liljedahl & Gadowsky 2003; vom Hofe 1995) und schließt mit dem Aufstellen einer Gleichung aus Graph und Punkt. Bereitet das Modellieren in Natur und Technik vor.

b und c ablesen

Umgekehrt liest man die Parameter aus dem Graphen ab. Die Asymptoten verraten b und c: Die senkrechte Asymptote liegt bei , die waagrechte bei . Liegen sie bei und , ist und , und im Nenner steht . Am Vorzeichen von a erkennt man die Lage der Äste: links oben und rechts unten heißt . Beispiel: Liegt das Kreuz bei und , steht im Nenner und hinter dem Bruch.

Bringe die cyanfarbene Kurve mit b, c, |a| und ± zur Deckung mit der grauen. Welcher Regler verschiebt das Kreuz, welcher dreht die Äste?

a aus einem Punkt

Ist das Kreuz bekannt, fehlt nur noch a. Man liest einen Punkt ab und rechnet Beispiel: und ergeben . Jeder andere Punkt liefert dasselbe Produkt, das ist die Probe. Die Gleichung lautet . Am besten liest man einen Punkt mit ganzzahligen Koordinaten ab; ein zweiter Punkt dient der Probe.

Bewege P auf beiden Ästen. Wie ändern sich x − b und y − c, und was bleibt gleich?

Voraussetzungen (1)

Den Graphen zeichnen
Klasse 8
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welche Werte haben b und c bei der abgebildeten Hyperbel y = a / (x − b) + c?

  • ● b = 2 und c = −1
  • ○ b = −2 und c = 1
  • ○ b = −1 und c = 2
Die senkrechte Asymptote liegt bei x = 2, also ist b = 2. Die waagrechte liegt bei y = −1, also ist c = −1. Bei b = −2 und c = 1 sind beide Vorzeichen umgedreht, bei b = −1 und c = 2 die beiden Werte vertauscht.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Die abgebildete Hyperbel hat im Nenner x + 3.

✓ Falsch
Die senkrechte Asymptote liegt bei x = 3, dort muss der Nenner null werden: x − 3, nicht x + 3. x + 3 gehörte zur Asymptote x = −3.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Welche Gleichung hat die waagrechte Asymptote der abgebildeten Hyperbel?

  • ● y = −2
  • ○ y = 2
  • ○ x = −1
Der linke und der rechte Ast nähern sich einer Höhe unterhalb der x-Achse, bei y = −2. y = 2 hat das Vorzeichen verdreht, x = −1 ist die senkrechte Asymptote.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Welcher Nenner gehört zur abgebildeten Hyperbel mit ihrem Kreuz?

  • ● x + 4
  • ○ x − 4
  • ○ x + 1
Die senkrechte Asymptote liegt bei x = −4, also ist b = −4 und im Nenner steht x − (−4) = x + 4. x − 4 wäre die Asymptote x = 4, x + 1 verwechselt b mit der waagrechten Asymptote y = 1.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Das Asymptotenkreuz hat den Mittelpunkt M(2 | 1). Der Punkt P(3 | 5) liegt auf dem Graphen. Wie groß ist a?

  • ● 4
  • ○ 15
  • ○ 5
a = (x − b)(y − c) = (3 − 2)(5 − 1) = 1 · 4 = 4. 15 wäre 3 · 5 = x · y (das Produkt der Koordinaten selbst, ohne das Kreuz zu berücksichtigen), 5 ist nur die y-Koordinate.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Bei der abgebildeten Hyperbel ist a = 2.

✓ Wahr
Das Kreuz hat den Mittelpunkt M(1 | −1), und P(2 | 1) liegt auf dem Graphen: a = (2 − 1)(1 − (−1)) = 1 · 2 = 2.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Der Punkt P liegt auf der abgebildeten Hyperbel mit Kreuz um M(−1 | 2). Wie groß ist a?

  • ● −3
  • ○ 3
  • ○ −1
P hat die Koordinaten (0 | −1): a = (0 − (−1))(−1 − 2) = 1 · (−3) = −3. Bei 3 ist das Vorzeichen falsch (P liegt unterhalb von M, y − c ist negativ), −1 ist nur die y-Koordinate von P.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Die Asymptoten einer Hyperbel sind x = 2 und y = 1, der Punkt (3 | 4) liegt auf dem Graphen. Welche Gleichung gehört dazu?

  • ● y = 3 / (x − 2) + 1
  • ○ y = 3 / (x + 2) + 1
  • ○ y = 3 / (x − 2) − 1
b = 2 und c = 1, und a = (3 − 2)(4 − 1) = 3: y = 3 / (x − 2) + 1. Probe mit (3 | 4): 3 / 1 + 1 = 4. Bei x + 2 wurde das Vorzeichen von b, bei − 1 das von c umgedreht.
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Der Punkt (0 | 0) liegt auf dem Graphen von y = 2 / (x − 1) + 2.

✓ Wahr
Einsetzen: y = 2 / (0 − 1) + 2 = −2 + 2 = 0. Der Punkt (0 | 0) gehört also zum Graphen.
Multiple Choice #10 20s ▶ Testen

Welche Gleichung gehört zur abgebildeten Hyperbel, die durch P verläuft?

  • ● y = −2 / (x − 1) + 1
  • ○ y = 2 / (x − 1) + 1
  • ○ y = −2 / (x + 1) + 1
Die Asymptoten liegen bei x = 1 und y = 1, also b = 1 und c = 1. P(2 | −1): a = (2 − 1)(−1 − 1) = −2. Bei + 2 wäre a positiv und der Ast rechts oben; bei x + 1 läge die senkrechte Asymptote bei x = −1.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Die senkrechte Asymptote einer Hyperbel y = a / (x − b) + c liegt bei x = −4. Wie groß ist b?

✓ Antwort: -4
b ist die Lage der senkrechten Asymptote: b = −4. Im Nenner steht dann x − (−4) = x + 4.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Das Kreuz hat den Mittelpunkt M(1 | 3), der Punkt P(4 | 5) liegt auf dem Graphen. Berechne a.

✓ Antwort: 6
a = (4 − 1)(5 − 3) = 3 · 2 = 6.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Prüfe, ob (3 | 3) auf y = 4 / (x − 1) + 1 liegt: Berechne y für x = 3.

✓ Antwort: 3
y = 4 / (3 − 1) + 1 = 2 + 1 = 3. Der berechnete Wert stimmt mit 3 überein, der Punkt liegt auf dem Graphen.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Eine Hyperbel hat die Asymptoten x = 3 und y = −2 und a = 5. Berechne y für x = 5 (auf 0,1 genau).

✓ Antwort: 0.5
b = 3, c = −2: y = 5 / (5 − 3) − 2 = 2,5 − 2 = 0,5. Man muss b und c mit den Vorzeichen aus den Asymptoten übernehmen.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Eine Hyperbel hat die Asymptoten x = −2 und y = 4 und geht durch (−1 | 1). Bestimme a.

✓ Antwort: -3
a = (x − b)(y − c) = (−1 − (−2))(1 − 4) = 1 · (−3) = −3. Der Punkt liegt unter der Asymptote y = 4 und rechts von x = −2: rechts unten, also a < 0.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Eine Hyperbel hat die Asymptoten x = 1 und y = 2 und geht durch (3 | 3). Berechne y für x = 5.

✓ Antwort: 2.5
a = (3 − 1)(3 − 2) = 2, also y = 2 / (x − 1) + 2. Für x = 5: y = 2 / 4 + 2 = 2,5.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Eine Hyperbel hat die Asymptoten x = −2 und y = 1 und geht durch P(1 | 0). Bestimme die Gleichung y = a / (x − b) + c und prüfe sie mit einem zweiten Punkt, zum Beispiel mit dem Punkt (−1 | −2). Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: b = −2, c = 1. a = (1 − (−2))(0 − 1) = 3 · (−1) = −3, also y = −3 / (x + 2) + 1. Probe mit (−1 | −2): −3 / (−1 + 2) + 1 = −3 + 1 = −2. ✓
Aus den Asymptoten b = −2, c = 1. a = (1 + 2)(0 − 1) = −3. Gleichung y = −3 / (x + 2) + 1. Probe: x = −1 gibt y = −3 + 1 = −2.