Skineffekt — warum Stahl und nicht Aluminium

Das Modell vom Anfang rechnete so, als durchsetze das Feld den ganzen Topfboden gleichmäßig. Die Lenzsche Regel zeigt, warum das nicht stimmen kann: Die Wirbelströme stemmen sich gegen jede Änderung des Flusses, und die erste Schicht Metall, die das Wechselfeld erreicht, fängt einen Teil davon ab. Die nächste Schicht bekommt also weniger Feld, die übernächste noch weniger. Die Kurve unten zeigt, wie viel vom Magnetfeld in der Tiefe $x$ über der Unterseite des Bodens noch ankommt — ohne Wirbelströme wäre sie eine waagerechte Linie bei 1.

Bei 25 kHz ist das Feld im Stahl nach 0,25 mm auf $1/e\approx 37\%$ gefallen, nach 1 mm auf unter 2 %. Diese Tiefe heißt Eindringtiefe $\delta$ (gesprochen „delta"), und dass das Wechselfeld samt Wirbelströmen in einer dünnen Haut an der Oberfläche bleibt, heißt Skineffekt (englisch skin, Haut). Sie hängt vom spezifischen Widerstand $\rho$ und von der Permeabilitätszahl ${\mu }_r$ ab — der Zahl, um die ein Eisenkern das Feld einer Spule verstärkt; für den Stahl eines Topfbodens nehmen wir rund 100 an, für Aluminium ist sie 1: $\delta =\sqrt{2\rho /(2\pi f\cdot {\mu }_0{\mu }_r)}$. Vierfache Frequenz, halbe Tiefe: Bei 100 kHz zeigt der Chip 0,12 mm. Bei den 50 Hz der Steckdose wären es 5,5 mm, mehr als der ganze Boden — dort durchsetzt das Feld den Boden wirklich, und das einfache Modell vom Anfang gilt.

Die ganze Joulesche Wärme entsteht also in den untersten Zehntelmillimetern Stahl. Das ändert, wie die Leistung mit f wächst. Die Wirbelströme werden nie stärker, als nötig ist, um das Feld abzufangen; bei gleichem Spulenstrom fließt in der Haut deshalb ungefähr derselbe Strom, egal wie hoch f ist. Mit $P=R\cdot I^2$ entscheidet dann der Widerstand der Haut, und der wächst mit $\rho /\delta$, also mit $\sqrt{f}$. Schiebe f von 25 auf 50 kHz: Der Chip $P_{Fe}$ steigt von 100 auf 141 %, nicht auf 400 % wie im einfachen Modell.

Jetzt der Alutopf. Sein Feld reicht tiefer, 0,52 mm bei 25 kHz, aber der Strom fließt in einem Metall, das 22-mal besser leitet. Der Widerstand der Haut ist im Stahl $6,0\cdot 10^{-7}\Omega \text{m}/0,25\text{mm}\approx 2,4\text{m}\Omega$, im Aluminium $2,7\cdot 10^{-8}\Omega \text{m}/0,52\text{mm}\approx 0,052\text{m}\Omega$ — 47-mal kleiner. Bei gleichem Strom nimmt der Alutopf also nur rund 2 % der Leistung auf; der Chip $P_{Al}$ zeigt 2,1 %, und keine Frequenz des Herds holt das auf. Der Fehler des einfachen Modells war, gleiche Spannung anzunehmen; gleich ist der Strom, den das Feld erzwingt. Deshalb hat ein induktionstauglicher Alutopf eine aufgepresste Stahlscheibe im Boden, und Kupfer scheitert aus demselben Grund. Bleibt die Frage, wie viel der Energie, die in dieser Haut ankommt, im Wasser landet.