Wirbelströme im Topfboden

Beginnen wir unter dem Glas. Dort liegt eine flache Spule, durch die ein Wechselstrom fließt. Die Frequenz $f$ zählt, wie oft er pro Sekunde hin- und herschwingt: Die Steckdose liefert 50 Hertz, also 50 volle Schwingungen pro Sekunde, die Spule des Herds 25 000 bis 50 000. Ihr Magnetfeld kennst du als Feldlinienbild einer Spule: Die Linien treten oben aus der Spule aus, stehen senkrecht durch das Glas, das Papier und den Boden des Topfes — und klappen 25 000-mal pro Sekunde um.

Wie viel Feld durch eine Fläche tritt, misst der magnetische Fluss $\Phi =B\cdot A$. Nimm im Topfboden einen Kreis mit 5 cm Radius und, als runden Modellwert, eine Flussdichte von höchstens $\hat{B}=10\text{mT}$: Dann ist $\hat{\Phi }=0,010\text{T}\cdot \pi \cdot (0,05\text{m}{)}^2\approx 7,9\cdot 10^{-5}\text{Wb}$, und weil das Feld umklappt, schwingt der Fluss zwischen $+\hat{\Phi }$ und $-\hat{\Phi }$. Der Topfboden aus Stahl ist ein Leiter, aber kein Draht ist darin zu einem Stromkreis gebogen. Sage voraus: Was passiert in einem massiven Stück Metall, wenn sich der Fluss durch seine Fläche ständig ändert?

Lies zuerst den Chip ${\bar{U}}_{ind}$. Nach dem Induktionsgesetz ist die Spannung längs des Rings so groß wie die Änderungsrate des Flusses. In einer Viertelschwingung fällt der Fluss von $\hat{\Phi }$ auf null, im Mittel also mit $\bar{U}=\hat{\Phi }/\frac{T}{4}=4f\hat{\Phi }$. Mit den Zahlen von oben: $4\cdot 25000\frac{1}{\text{s}}\cdot 7,9\cdot 10^{-5}\text{Wb}\approx 7,9\text{V}$. Der Boden ist der Stromkreis: Weil das Metall in jeder Richtung leitet, treibt diese Spannung Ströme, die sich zu Kreisen schließen — die orangen Ringe, wie kleine Strudel im Wasser. Man nennt sie Wirbelströme.

Jede Strombahn hat einen Widerstand $R=U/I$, also treibt die doppelte Spannung den doppelten Strom. Und aus $P=U\cdot I$ wird mit $U=R\cdot I$ die Leistung $P=R\cdot I^2$: doppelter Strom, vierfache Wärme. Schiebe f von 25 auf 50 kHz, und die Chips zeigen genau das — $\bar{U}$ von 7,9 auf 15,7 V, $I_W$ von 100 auf 200 %, P von 100 auf 400 %. Die Wirbelströme setzen elektrische Energie in Joulesche Wärme um, mitten im Topfboden: Der Topf ist sein eigenes Heizelement. Bei 0,05 kHz, den 50 Hz der Steckdose, bleiben rund 0,02 V und praktisch null Watt — erst die hohe Frequenz macht aus dem Effekt einen Herd. Dieses Modell rechnet so, als durchsetze das Feld den ganzen Boden gleichmäßig.

Schalte jetzt auf den Topfboden aus Glas. Der Chip ${\bar{U}}_{ind}$ bleibt bei 7,9 V — das Feld geht durch Glas hindurch, und die Spannung wird auch dort induziert. Aber $I_W$ und P fallen auf null: Glas hat keine freien Ladungsträger, die Kette reißt beim dritten Glied. Dasselbe gilt für das Papier aus dem Einstieg. Den Laborzwilling kennst du vom Ringpendel: Ein Aluminiumring, der in ein Magnetfeld schwingt, wird gebremst; ein geschlitzter Ring nicht, denn der Schlitz unterbricht die Strombahn. Der Topfboden ist tausende solcher Ringe, ineinander geschachtelt.

Nur der Aluminiumtopf passt nicht in die Kette. Aluminium leitet rund 22-mal besser als der Stahl eines Topfbodens (spezifischer Widerstand $2,7\cdot 10^{-8}$ gegen $6,0\cdot 10^{-7}\Omega \text{m}$). Dieselbe Spannung triebe also einen 22-mal größeren Strom, und mit $P=U\cdot I$ käme 22-mal so viel Wärme heraus. Der Alutopf müsste heißer werden als der Stahltopf — er bleibt fast kalt. Die Kette rechnet mit der Größe der Ströme, nicht mit ihrer Richtung. Welche Richtung haben sie?