Warum laufen die Schienen zusammen? Perspektive als Blick durchs Fenster

Ein Gleis, das sich in der Ferne verengt

Stell dich zwischen zwei Bahnschienen und schau das Gleis entlang. Die beiden Schienen laufen aufeinander zu, und ganz hinten scheinen sie sich zu berühren. Aber wenn sie das täten, entgleiste jeder Zug: Die Schienen liegen überall genau 1 435 mm auseinander. Und doch zeichnet jeder, der ein Gleis „richtig" zeichnen will, zwei Linien, die sich treffen.

Merk dir deine Antwort auf die Frage: Werden die Schienen in der Ferne schmaler, oder sieht es nur so aus? Dieser Artikel baut die Antwort Schritt für Schritt aus einem einzigen Werkzeug: einem Fenster zwischen deinem Auge und der Welt.

1 · Ein Fenster zwischen Auge und Welt

Leon Battista Alberti schrieb 1435, ein Bild sei wie ein offenes Fenster. Nimm das wörtlich: Du stehst einen Meter hinter einer Glasscheibe und zeichnest mit einem Stift auf das Glas genau das nach, was du dahinter siehst. Jeder Punkt draußen schickt einen Lichtstrahl zu deinem Auge, und wo dieser Strahl die Scheibe durchstößt, landet der Punkt im Bild.

Unten siehst du das von der Seite: links dein Auge in 1,6 m Höhe, dann das Fenster, dahinter zwei gleich hohe Masten, jeder 3 m hoch. Mast 1 steht fest 2 m vor dir. Den Mast 2 kannst du verschieben.

Bei 2 m ist das Bild des Mastes 150 cm lang, bei 4 m nur noch 75 cm, bei 6 m 50 cm. Doppelte Entfernung, halbes Bild; dreifache Entfernung, ein Drittel. Der Grund steckt in den beiden Strahlen: Sie bilden ein schmales Dreieck mit der Spitze in deinem Auge, und je weiter der Mast wegrückt, desto spitzer wird es dort, wo es die Scheibe schneidet. In der Mathematik heißt das Strahlensatz.

Der Mast selbst bleibt dabei 3 m hoch. Kleiner wird nur sein Abbild auf dem Glas. Das ist der erste Teil der Antwort: Perspektive ist keine Eigenschaft der Dinge, sondern eine Eigenschaft der Projektion — des Weges vom Ding durch das Fenster ins Auge.

2 · Viele gleiche Schwellen

Ein einzelner Mast erklärt noch nicht, warum Linien zusammenlaufen. Dafür drehen wir uns um und schauen durch das Fenster auf ein Gleis. Die Schwellen sind alle gleich lang, 2,6 m, und liegen alle 0,6 m. Jede liegt ein Stück weiter weg als die vorige, ihr Bild ist also — wie beim Mast — ein Stück kürzer.

Die ersten Bilder liegen weit auseinander, die hinteren drängen sich dicht. Zwischen dem Bild der ersten und der zweiten Schwelle liegen auf der Scheibe gut 40 cm, zwischen der fünften und sechsten nur noch 6 cm — obwohl die Schwellen in Wirklichkeit gleich weit auseinanderliegen. Das Bild schrumpft nicht gleichmäßig, sondern wie 1 geteilt durch die Entfernung.

Verbindet man die Enden der Schienen, laufen sie auf einen Punkt zu, den Fluchtpunkt. Auch mit einer Million Schwellen erreichen sie ihn nie: Er ist das Bild eines Punktes, der unendlich weit weg liegt. Jetzt lässt sich die Frage vom Anfang beantworten. Die Schienen bleiben 1 435 mm auseinander; ihre Bilder rücken zusammen, weil jedes Stück Gleis weiter hinten kleiner abgebildet wird als das davor.

3 · Wo der Punkt liegt: in deiner Augenhöhe

Der Fluchtpunkt lag eben genau auf der gestrichelten Linie. Warum dort? Ein Punkt, der unendlich weit geradeaus liegt, erreicht dein Auge auf einem Strahl, der waagerecht verläuft — also durchstößt er die Scheibe genau in deiner Augenhöhe. Diese Linie heißt Horizont. Das ist beim Zeichnen nicht die Kante, an der der Himmel anfängt, und auch nicht die Bildmitte.

Dasselbe Gleis, dazu eine Kiste am Boden (0,9 m hoch) und eine Lampe, die von der Decke hängt (Unterkante 2,0 m). Diesmal veränderst du nicht die Welt, sondern dich.

Der Fluchtpunkt wandert mit deinem Auge, und das ganze Gleis schwenkt mit. Die Kiste zeigt ihren Deckel erst, wenn dein Auge höher ist als 0,9 m; darunter schaust du an ihrer Vorderseite entlang. Bei der Lampe ist es umgekehrt: Ihren Boden siehst du nur, solange dein Auge unter 2,0 m bleibt. Die Regel dahinter ist eine einzige: Was unter dem Horizont liegt, siehst du von oben; was darüber liegt, von unten.

4 · Nicht jede Linie flieht

Die Schwellen auf dem Gleis blieben waagerecht. Der Grund: Sie liegen quer zur Blickrichtung, parallel zur Scheibe. Für eine solche Linie sind beide Enden gleich weit weg, also schrumpfen beide gleich stark, und die Linie bleibt parallel zu sich selbst. Nur Linien, die vom Auge weg in die Tiefe laufen, fliehen zu einem Punkt.

Was aber, wenn ein Gegenstand schräg steht? Unten steht ein Quader, 1,4 m lang, um einen Winkel gedreht. Seine waagerechten Kanten laufen jetzt in zwei Richtungen in die Tiefe.

Jede Richtung paralleler Kanten hat ihren eigenen Fluchtpunkt, und beide liegen auf demselben Horizont, weil beide Richtungen waagerecht sind. Bei 45° liegen sie symmetrisch, je einen Meter Scheibe links und rechts der Mitte. Dreht man weiter, rückt der eine zur Mitte und der andere wandert hinaus: Bei 25° liegt der rechte schon 2,14 m neben der Mitte, weit außerhalb des Fensters, und bei 10° läuft er aus dem Bild. Steht eine Seite genau parallel zur Scheibe, gibt es für sie keinen Fluchtpunkt mehr — aus der Über-Eck-Perspektive ist wieder die Zentralperspektive geworden.

5 · Brunelleschis Guckloch

Das alles wurde um 1415 in Florenz zum ersten Mal vorgeführt, und zwar mit genau dem Werkzeug dieses Artikels. Der Goldschmied und Baumeister Filippo Brunelleschi malte das Baptisterium auf eine kleine Holztafel, so wie man es aus dem Portal des Doms sieht. In die Tafel bohrte er ein Loch.

Man schaute von hinten durch das Loch und hielt vorn einen Spiegel vor die bemalte Seite. Im Spiegel erschien das Bild — und wenn man den Spiegel wegzog, stand das echte Baptisterium genau dort, wo eben noch sein Bild war. Das Guckloch tat, was in diesem Artikel das Auge links vom Fenster tut: Es legte einen einzigen Blickpunkt fest. Nur von dort stimmt eine Zentralperspektive. Etwa zehn Jahre später malte Masaccio die Trinità mit einem einzigen Fluchtpunkt in Augenhöhe der Betrachter, und 1435 schrieb Alberti die Konstruktion auf.

Unser Modell hat vereinfacht. Wir haben nur gefragt, was auf der Scheibe landet. Dein Gehirn rechnet weiter: Es weiß, dass ein fernes Ding nicht wirklich kleiner ist, und vergrößert es beim Sehen ein Stück zurück. Diese Größenkonstanz ist der Grund, warum dir ein Gleis im Alltag nicht so streng zusammenzulaufen scheint wie auf einem Foto — das Foto zeigt die reine Projektion, und du betrachtest es meist nicht aus dem Punkt, von dem aus es aufgenommen wurde. Wir haben ein flaches Fenster angenommen; ein sehr weiter Blick, etwa im Fischaugen-Objektiv, biegt gerade Linien. Und wir haben nur Linien betrachtet, keine Farben: Dass ferne Berge heller und bläulicher werden, ist die Luftperspektive, eine Sache der Luft, nicht der Geometrie. Weiter geht es in der Kunstgeschichte bei der Renaissance, in der Mathematik beim Strahlensatz und in der Physik bei der Lochkamera, die dasselbe Fenster ohne Maler baut.