Der Kompass in deiner Tasche

Schauen wir in den Chip hinein. Ein Hall-Sensor ist im Kern nichts weiter als ein flaches Halbleiterplättchen mit vier Anschlüssen: An zwei gegenüberliegenden Seiten wird ein kleiner Strom eingespeist, die anderen beiden sind Messkontakte. Keine Mechanik, kein Magnet — nur ein Plättchen, durch das Ladungsträger mit der Driftgeschwindigkeit $v$ wandern.

Bevor wir den Strom einschalten, halte kurz inne und lege dich fest: Das Erdmagnetfeld durchsetzt das Plättchen die ganze Zeit — was macht es mit einem Elektron, das gerade ruhig im Kristall sitzt?

Die Antwort ist ernüchternd und der Schlüssel zu allem: gar nichts. In der Formel für die Lorentzkraft, $F_L=q\cdot v\cdot B$, steht die Geschwindigkeit als Faktor — für $v=0$ ist $F_L=0$, egal wie stark das Feld ist. Ein Magnetfeld ist kein „Ladungs-Magnet": Es übt auf ruhende Ladungen keinerlei Kraft aus. Genau hier liegen viele daneben — die Erwartung, das Feld ziehe an jeder Ladung wie ein elektrisches Feld, gehört zu den am besten dokumentierten Fehlvorstellungen der E-Lehre. Der Sensor funktioniert nur, weil Strom fließt.

Also: Strom an. Jetzt driften die Ladungsträger durchs Plättchen, und jetzt hat das Feld einen Angriffspunkt. Die Drei-Finger-Regel, direkt am Chip angewendet — Daumen in Stromrichtung, Zeigefinger in Feldrichtung (senkrecht durchs Plättchen), Mittelfinger: Kraft quer zum Strom, zum Rand des Plättchens hin.

Beobachte drei Dinge im Applet:

• Die Kraft wächst mit $B$ und mit $v$ — beide stehen als Faktoren in $F_L=q\cdot v\cdot B$.
• Die abgedrängten Ladungsträger sammeln sich am Rand: oben entsteht ein Ladungsüberschuss, unten fehlt genau diese Ladung. Bei $B=0$ verschwindet beides.
• Die Zahlen sind winzig. Mit dem Erdfeld ($B\approx 50\mu \mathrm{T}$) und einer Driftgeschwindigkeit von rund einem Millimeter pro Sekunde wirkt auf einen einzelnen Träger eine Kraft von etwa $10^{-26}\mathrm{N}$ — ein Hufeisenmagnet mit $0,1\mathrm{T}$ würde zweitausendmal kräftiger drücken.

Eine Feinheit noch: Im Applet driften positive Träger in Stromrichtung — so passt die rechte Hand. In einem n-dotierten Halbleiter wandern in Wirklichkeit Elektronen entgegen der technischen Stromrichtung; für sie nimmt man die linke Hand, und die Vorzeichen an den Rändern tauschen die Plätze. An der Physik ändert das nichts — nur am Vorzeichen dessen, was wir gleich messen.

Merke dir den Kern dieser Etappe: Das Magnetfeld wirkt nur auf bewegte Ladungen. Ein lose herumsitzendes Elektron spürt vom Erdfeld nichts; erst der Strom macht das Plättchen zum Fühler. Und die Ladung, die sich an den Rändern staut, ist kein Nebeneffekt — sie ist der Anfang des Messsignals. Was aus ihr wird, ist die nächste Etappe.

Am Ende der letzten Etappe stauten sich Ladungen an den Rändern des Plättchens. Halte wieder kurz inne: Läuft diese Aufladung immer weiter, solange der Strom fließt — wird der Rand also beliebig stark geladen?

Nein — und der Grund ist ein Gleichgewicht, das du vom Hall-Effekt kennst. Die getrennten Ladungen sind selbst eine Quelle: Zwischen den Rändern entsteht ein elektrisches Querfeld $E_H$, das jeden weiteren Ladungsträger zurück zieht. Je mehr Ladung sich staut, desto stärker das Querfeld — bis es die Lorentzkraft exakt ausgleicht:

$$q\cdot E_H=q\cdot v\cdot B⟹E_H=v\cdot B$$

Ab diesem Moment fließt der Strom wieder geradeaus, und zwischen den Messkontakten steht eine feste Spannung — die Hallspannung. Bei der Plättchenbreite $b$ ist sie

$$U_H=b\cdot v\cdot B$$

Sieh dir die Formel genau an: Bei festem Strom stehen $b$ und $v$ fest, also ist $U_H\propto B$. Die Spannung ist das Messsignal. Doppeltes Feld, doppelte Spannung — ein geeichtes Plättchen übersetzt Flussdichte direkt in Volt, ohne ein einziges bewegliches Teil. Beim Erdfeld sind das nur Mikrovolt; deshalb sitzt im Chip gleich der Verstärker daneben, und deshalb besteht das Plättchen aus einem Halbleiter — wenige Ladungsträger heißt hohe Driftgeschwindigkeit, und die steht als Faktor in $U_H$.

Ein Plättchen misst dabei immer nur eine Richtung: die Feldkomponente senkrecht zu seiner Fläche. Der Magnetometer-Chip enthält deshalb drei Hall-Sensoren, senkrecht zueinander eingebaut. Ihre drei Spannungen liefern die drei Komponenten $B_x$, $B_y$, $B_z$ — den vollständigen Richtungsvektor des Erdmagnetfelds. In München zeigt er mit etwa $21\mu \mathrm{T}$ horizontal nach Norden und mit rund $43\mu \mathrm{T}$ steil in den Boden. Für die Karte zählt nur der horizontale Anteil: Aus $B_x$ und $B_y$ berechnet die App, wohin Norden zeigt.

Der Störfeld-Regler zeigt das letzte Puzzlestück. Der Sensor kann nicht wissen, woher ein Feld kommt: Der Lautsprechermagnet zwei Zentimeter neben dem Chip, die Straßenbahn, ein Stahlträger in der Wand — alles addiert sich zum Erdfeld, und der berechnete Norden wandert. Gegen die Umgebung hilft nur Abstand. Aber den eigenen Anteil des Geräts kann die Software loswerden: Er ist im Handy-Koordinatensystem konstant, das Erdfeld dagegen dreht sich mit, wenn du das Gerät bewegst. Genau deshalb verlangt die App manchmal, das Handy in einer Acht zu schwenken — sie sammelt Messwerte aus allen Lagen und rechnet den konstanten Sockel heraus.

Damit ist der Kompass in deiner Tasche vollständig: kein Magnet, keine Nadel — drei stromdurchflossene Plättchen, dreimal das Gleichgewicht $qvB=q{E}_H$, drei Spannungen, ein Richtungsvektor. Das Magnetfeld haben wir dabei nur an gebundenen Ladungen erlebt, die im Kristall festsitzen. Was passiert, wenn geladene Teilchen sich frei im Magnetfeld bewegen dürfen, ist die nächste Geschichte — sie führt auf Kreisbahnen.