Das Geburtstagsproblem
The birthday problem
Wie wahrscheinlich haben in einer Klasse mindestens zwei Kinder am selben Tag Geburtstag? Über das Gegenereignis „alle verschieden“ ist es ein Pfad mit dem Produkt 365/365 · 364/365 · 363/365 · … ; schon bei 23 Kindern übersteigt die Wahrscheinlichkeit 0,5. Eine Simulation vieler Klassen macht die überraschende Rechnung plausibel. Räumt aus, „irgendein Paar“ mit „jemand hat an meinem Tag Geburtstag“ zu verwechseln und dafür etwa 183 Kinder zu erwarten. Bereitet den Vergleich von Rechnung und Simulation als Plausibilitätsprüfung vor.
Rechnen über das Gegenereignis
Wie wahrscheinlich haben unter n Kindern mindestens zwei am selben Tag Geburtstag? Wir nehmen 365 gleich wahrscheinliche Tage an und lassen den 29. Februar und Zwillinge weg; das Modell ist eine Idealisierung. Das
Simulation prüft die Rechnung
Das Ergebnis wirkt unglaublich, doch 23 Kinder bilden 253
Voraussetzungen (2)
In einer Gruppe mit 3 Kindern (365 gleich wahrscheinliche Tage) soll P(alle drei haben verschiedene Geburtstage) berechnet werden. Welcher Term gehört dazu?
In einer Klasse mit 10 Kindern ist P(alle Geburtstage verschieden) ≈ 0,883. Dann ist P(mindestens zwei haben am selben Tag Geburtstag) ebenfalls ≈ 0,883.
Ab welcher Klassengröße ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Kinder am selben Tag Geburtstag haben, größer als 0,5?
Bei 5 Kindern gibt es 10 Paare (jede Linie ist ein Paar). Wie viele Paare gibt es bei 10 Kindern?
In einer Klasse mit 23 Kindern ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand am selben Tag wie ich Geburtstag hat, ebenfalls etwa 50 %.
Für 23 Kinder ergibt die Rechnung P ≈ 0,507. Eine Simulation mit 1000 Klassen zu je 23 Kindern findet in 512 Klassen mindestens ein gleiches Paar. Was folgt daraus?
Eine Simulation mit nur 20 Klassen zu je 23 Kindern ergibt 13 Klassen mit gleichem Paar (65 %). Das widerlegt die Rechnung P ≈ 0,507.
Bei zwei Kindern ist die Wahrscheinlichkeit für denselben Geburtstag 1/365. Gib sie als Dezimalzahl auf vier Nachkommastellen gerundet an.
In einer Klasse mit 23 Kindern gilt P(jemand hat an meinem Tag Geburtstag) = 1 − (364/365)^22. Gib die Wahrscheinlichkeit in Prozent auf ganze Prozent gerundet an.
Mit P ≈ 0,507 erwartet man bei 2000 simulierten Klassen zu je 23 Kindern etwa wie viele Klassen mit einem gleichen Paar?
Fünf Kinder werden befragt. Wie groß ist P(mindestens zwei haben am selben Tag Geburtstag)? Gib die Wahrscheinlichkeit auf drei Nachkommastellen gerundet an (365 gleich wahrscheinliche Tage).
Wie viele verschiedene Paare bilden 30 Kinder in einer Klasse?
Für 30 Kinder liefert die Rechnung P ≈ 0,706. Eine Simulation mit 1000 Klassen findet in 703 Klassen ein gleiches Paar. Wie groß ist der Abstand zwischen h und dem Rechenwert (Betrag)?
Vier Kinder werden zufällig ausgewählt (365 gleich wahrscheinliche Tage, keine Schalttage). Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei von ihnen am selben Tag Geburtstag haben: Schreibe das Gegenereignis auf, den Pfad mit seinen Ästen und das Ergebnis auf drei Nachkommastellen. Beschreibe außerdem, wie du die Rechnung mit einer Simulation auf Plausibilität prüfen könntest. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.