Erwartungswert und Streuung
Expected value and spread
Für X ~ B(n; p) gelten E(X) = μ = n · p und σ = √(n · p · (1 − p)). Der Erwartungswert ist der Mittelwert auf lange Sicht und der Schwerpunkt des Histogramms, kein Wert, der eintreten muss; σ beschreibt, wie weit die Trefferzahl typischerweise davon abweicht. Räumt aus: μ als wahrscheinlichsten Wert oder als Vorhersage der nächsten Serie zu lesen, die Wurzel bei σ zu vergessen und σ = √(n · p) zu rechnen. Bereitet den Einfluss von n und p auf das Histogramm und die Beurteilung von Ergebnissen im Signifikanztest vor.
Der Erwartungswert n · p
Wer im Ratetest zufällig ankreuzt, trifft im Mittel ein Viertel der 10 Fragen:
Der
Die Streuung σ
Wie weit weicht die Trefferzahl typischerweise von
Im Ratetest ist
Voraussetzungen (1)
Ermöglicht (1)
Ein Basketballer trifft jeden Freiwurf mit der Wahrscheinlichkeit 0,7, die Würfe sind unabhängig. Wie viele Treffer erwartet er im Mittel bei 20 Würfen?
Bei 10 Münzwürfen ist E(X) = 5 für die Zahl der Köpfe. Deshalb kommen in jeder Serie von 10 Würfen genau 5 Köpfe vor.
Das Histogramm zeigt die Trefferzahl im Ratetest (n = 10, p = 0,25). Zwischen welchen beiden Säulen liegt der Erwartungswert E(X) = n · p?
Für X ~ B(100; 0,5): Wie groß ist die Standardabweichung σ?
Bei n = 100 streut die Trefferzahl für p = 0,5 stärker als für p = 0,9.
Welcher Term gibt σ für X ~ B(40; 0,3)?
Bei 100 Münzwürfen gilt μ = 50 und σ = 5 für die Zahl der Köpfe. Welches Ergebnis wäre ungewöhnlich weit von μ entfernt?
Bei einem Ratetest mit μ = 2,5 ergeben fünf Durchgänge die Trefferzahlen 2, 3, 2, 4 und 1. Der Durchschnitt 2,4 widerspricht dem Erwartungswert nicht.
Für X ~ B(10; 0,5) ist μ = 5 und σ ≈ 1,58. Welche Trefferzahlen liegen im Band von μ − σ bis μ + σ?
Für X ~ B(50; 0,2): Wie groß ist E(X)?
Für X ~ B(n; p) gilt E(X) = n · ___
Für X ~ B(20; 0,3): Wie groß ist die Varianz Var(X)?
Bei 100 Münzwürfen ist μ = 50 und σ = 5. Bei welcher Kopfzahl liegt die Grenze μ − 2σ?
Ein Würfel soll so oft geworfen werden, dass man im Mittel 25 Sechsen erwartet. Wie viele Würfe sind das?
Für X ~ B(3; 0,4) gilt P(X = 0) = 0,216, P(X = 1) = 0,432, P(X = 2) = 0,288 und P(X = 3) = 0,064. Berechne E(X) aus der Definition (Summe aus Wert mal Wahrscheinlichkeit) und vergleiche mit n · p. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Ein Würfel wird 72-mal geworfen, X zählt die Sechsen. Wie groß ist σ? (auf zwei Dezimalen)
Ein Zufallsgenerator trifft mit p = 0,05, es gibt 400 Versuche. Bestimme μ und σ und gib die Obergrenze μ + 2σ des typischen Bereichs an (auf eine Dezimale).
Eine Münze wird 100-mal geworfen, es fallen 62 Köpfe. Die Münze soll fair sein (p = 0,5). Bestimme μ und σ, berechne, wie viele σ das Ergebnis von μ entfernt liegt, und beurteile in einem Satz, ob das Ergebnis gegen eine faire Münze spricht. (Zur Orientierung: P(X ≥ 62) ≈ 0,0105.) Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.