Die richtige Formel wählen
Choosing the formula
Aus drei Formeln wird die passende gewählt: zweimal dieselbe Klammer mit Plus (erste), mit Minus (zweite), Summe mal Differenz (dritte). Der Abschnitt räumt aus, dass (x − 5)² mit der dritten und (x + 5)(x − 5) mit der zweiten Formel gerechnet wird, dass (5 − x)² als 25 − x² gelesen wird und dass ein passender Zahlenwert eine Umformung beweist (x = 0, Healy und Hoyles 2000). Die Zahlenprobe wird als Werkzeug eingeführt. Der Abschnitt bereitet das Erkennen rückwärts und das Deuten von Termen vor.
Muster, Reihenfolge und Vorzeichen
Welche Formel passt? Schau auf die Klammern. Zweimal dieselbe Klammer mit Plus: erste Formel, (x + 5)² = x² + 10x + 25. Zweimal dieselbe Klammer mit Minus: zweite Formel, (x − 5)² = x² − 10x + 25. Eine Klammer mit Plus und eine mit Minus: dritte Formel, (x + 5)(x − 5) = x² − 25. Schreibe zuerst auf, was a und b sind, und wähle dann die Formel.
Auch (5 − x)² ist das Quadrat einer Differenz. Hier ist
Die Zahlenprobe
Prüfe eine Umformung mit Zahlen, aber nicht nur mit einer. Für x = 0 haben (x + 4)² und x² + 16 beide den Wert 16, und doch sind die Terme nicht gleich: Schon für x = 1 ergeben sich 25 und 17. Ein Gegenbeispiel widerlegt eine Umformung, ein passender Wert beweist nichts. Nimm deshalb mehrere Werte und keinen Sonderfall wie 0 oder 1. Eine Zahlenprobe findet Fehler, aber sie beweist keine Formel. Beweisen lassen sich die Formeln mit dem Flächenbild oder durch Ausmultiplizieren, jeder mit jedem.
Voraussetzungen (3)
Ermöglicht (1)
Multipliziere aus: (t + 9)²
Multipliziere aus: (n − 4)(n + 4)
(x − 5)(x − 5) = x² − 25
Multipliziere aus: (5 − x)²
(5 − x)² = (x − 5)²
Welcher Term ist gleich (7 − y)²?
Du prüfst (x + 3)² = x² + 9 mit einem Zahlenwert. Bei welchem Wert fällt der Fehler nicht auf?
Für a = 2 und b = 0 haben (a + b)² und a² + b² denselben Wert. Also gilt (a + b)² = a² + b² für alle a und b.
Welche Umformung von (x + 4)² ist nach der Tabelle falsch?
Welche binomische Formel passt zu (3y − 1)²?
Welche binomische Formel passt zu (2x + 5)(2x − 5)?
Welche binomische Formel (1, 2 oder 3) gehört zu (x − 3)²? Gib die Nummer an.
Es gilt (3 − x)² = 9 − m · x + x². Wie groß ist m?
Berechne (x + 4)² − (x² + 16) für x = 3.
Zahlenprobe: Setze x = 2 in (x + 3)² ein. Was kommt heraus?
Zahlenprobe: Setze x = 3 in (x + 2)² ein. Was kommt heraus?
Multipliziere aus und setze x = 10 ein: (x + 7)(x − 7). Wie groß ist der Wert?
Ein Quadrat hat die Seite (10 − y) cm. Wie groß ist seine Fläche für y = 3 in cm²?
Prüfe (x − 2)² = x² − 4x + 4 für x = 5. Welchen Wert hat die rechte Seite?
Sophie behauptet: (a − 3)² = a² − 9. Widerlege das mit einem Gegenbeispiel, gib den richtigen ausmultiplizierten Term an und prüfe ihn für dieselbe Zahl. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.