Der Hauptnenner

The common denominator

Mathematik Klasse 6 30 Aufgaben

BrücheHauptnennerPrimfaktorzerlegung

Der Hauptnenner zweier Brüche ist die kleinste Zahl, in die beide Nenner passen: das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV). Man findet es durch Aufschreiben der Vielfachen oder – zuverlässig auch bei großen Zahlen – aus der Primfaktorzerlegung: jeden Primfaktor so oft, wie er in einem der Nenner höchstens vorkommt. Die Station räumt aus, dass der Hauptnenner das Produkt der Nenner oder der gemeinsame Teiler (ggT) sei. Sie bereitet das Vergleichen und Ordnen mehrerer Brüche und später das Addieren ungleichnamiger Brüche vor.

Für Mia und Ben genügte der gemeinsame Nenner 24. Oft geht es kleiner: Der kleinste gemeinsame Nenner heißt Hauptnenner. Er ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner. Beispiel $\frac{3}{4}$ und $\frac{5}{6}$ : Man schreibt die Vielfachen der Nenner auf.

Nenner	Vielfache
4	4, 8, 12, 16, 20, 24, …
6	6, 12, 18, 24, …

Die erste gemeinsame Zahl ist 12, der Hauptnenner. Das Produkt 4 · 6 = 24 ist zwar auch ein gemeinsamer Nenner, aber nicht der kleinste. Zur Kontrolle müssen beide Nenner in den Hauptnenner aufgehen: 12 : 4 = 3 und 12 : 6 = 2.

Lege mit dem Regler m ein Raster aus m gleichen Teilen über beide Streifen. Wann passen beide Brüche ins Raster?

Bei großen Nennern hilft die Primfaktorzerlegung. Mit 12 = 2 · 2 · 3 und 18 = 2 · 3 · 3 nimmt man jeden Primfaktor so oft, wie er in einer der beiden Zahlen am häufigsten vorkommt: die 2 zweimal, die 3 zweimal.

$kgV (12, 18) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 36$

Zum Schluss erweitert man jeden Bruch auf den Hauptnenner. Der Erweiterungsfaktor ist Hauptnenner : alter Nenner, und der Zähler bekommt denselben Faktor: $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$ , $\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$ . Also ist $\frac{3}{4} < \frac{5}{6}$ .

Voraussetzungen (1)

Brüche vergleichen

Klasse 6

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Was ist der Hauptnenner von 3/4 und 5/6?

● 12
○ 24
○ 2

Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 4 und 6. Vielfache von 4: 4, 8, 12 … Vielfache von 6: 6, 12 … – die erste gemeinsame Zahl ist 12. 24 ist zwar ein gemeinsames Vielfaches (das Produkt), aber nicht das kleinste; 2 ist der gemeinsame Teiler.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Die Punkte zeigen die Vielfachen von 4 (oben) und von 6 (unten). Welche Zahlen sind gemeinsame Vielfache von 4 und 6?

● 12 und 24
○ 4 und 6
○ 8 und 18

Gemeinsame Vielfache stehen in beiden Reihen: 12 und 24. 4 steht nur in der oberen und 6 nur in der unteren Reihe; 8 gehört nur zur oberen, 18 nur zur unteren Reihe.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Der Hauptnenner von 5/6 und 3/8 ist 48.

✓ Falsch

48 = 6 · 8 ist ein gemeinsames Vielfaches, aber schon 24 passt: 24 : 6 = 4 und 24 : 8 = 3. Der Hauptnenner ist 24.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

12 = 2 · 2 · 3 und 18 = 2 · 3 · 3. Welche Primfaktoren hat das kgV von 12 und 18?

● 2 · 2 · 3 · 3
○ 2 · 3
○ 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3

Jeder Primfaktor wird so oft genommen, wie er in einer der beiden Zerlegungen am häufigsten vorkommt: 2 zweimal (in 12), 3 zweimal (in 18). Das ergibt 2 · 2 · 3 · 3 = 36. Nur die gemeinsamen Faktoren (2 · 3 = 6) ergeben den ggT; alle Faktoren zusammen (216) sind ein zu großes gemeinsames Vielfaches.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Wie groß ist das kgV von 9 = 3 · 3 und 15 = 3 · 5?

● 45
○ 135
○ 3

3 zweimal, 5 einmal: 3 · 3 · 5 = 45. Das Produkt 135 enthält die 3 dreimal, das kgV nur zweimal; 3 ist der ggT.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Das kgV von 10 = 2 · 5 und 15 = 3 · 5 ist 150.

✓ Falsch

Die 5 kommt in beiden Zahlen vor und wird nur einmal genommen: kgV = 2 · 3 · 5 = 30. Kontrolle: 30 : 10 = 3, 30 : 15 = 2. 150 = 10 · 15 ist das Produkt, das die 5 doppelt zählt.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

5/6 und 3/4 werden auf den Hauptnenner erweitert. Welche Brüche entstehen?

● 10/12 und 9/12
○ 5/12 und 3/12
○ 20/24 und 18/24

Hauptnenner 12: 12 : 6 = 2, also 5/6 = 10/12; 12 : 4 = 3, also 3/4 = 9/12. Die Zähler müssen mit erweitert werden; 20/24 und 18/24 haben den gemeinsamen Nenner 24, aber nicht den kleinsten.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Ordne 2/3, 3/4 und 5/8 von klein nach groß.

● 5/8 < 2/3 < 3/4
○ 3/4 < 2/3 < 5/8
○ 2/3 < 5/8 < 3/4

Hauptnenner von 3, 4 und 8 ist 24: 2/3 = 16/24, 3/4 = 18/24, 5/8 = 15/24. Nach den Zählern: 5/8 < 2/3 < 3/4.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Beide Streifen sind durch gestrichelte Linien in Zwölftel geteilt. Der obere Streifen (5/6) ist stärker gefärbt als der untere (3/4).

✓ Wahr

In Zwölfteln: oben 5/6 = 10/12, unten 3/4 = 9/12. 10 > 9, also ist 5/6 > 3/4.

Multiple Choice #10 15s ▶ Testen

Was ist der Hauptnenner von 1/2 und 1/6?

● 6
○ 8
○ 2

Multiple Choice #11 15s ▶ Testen

Was ist der Hauptnenner von 1/3 und 1/9?

○ 12
● 9
○ 3

Multiple Choice #12 15s ▶ Testen

Was ist der Hauptnenner von 3/4 und 5/8?

● 8
○ 12
○ 4

Multiple Choice #13 15s ▶ Testen

Was ist der Hauptnenner von 1/2 und 7/10?

● 10
○ 12
○ 2

Multiple Choice #14 15s ▶ Testen

Was ist der Hauptnenner von 1/2 und 1/4?

● 4
○ 6
○ 8

Multiple Choice #15 15s ▶ Testen

Was ist der Hauptnenner von 1/3 und 1/6?

○ 9
● 6
○ 18

Multiple Choice #16 15s ▶ Testen

Was ist der kleinste gemeinsame Nenner von 1/4 und 1/6?

○ 10
● 12
○ 24

Multiple Choice #17 15s ▶ Testen

Was ist der kleinste gemeinsame Nenner von 1/6 und 1/9?

○ 15
● 18
○ 54

Multiple Choice #18 15s ▶ Testen

Geh die 8er-Reihe entlang. In welche Zahl passt auch 6?

○ 16
● 24
○ 48

Multiple Choice #19 15s ▶ Testen

Geh die 10er-Reihe entlang. In welche Zahl passt auch 4?

● 20
○ 30
○ 40

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Wie lautet der Hauptnenner von 1/6 und 1/8?

✓ Antwort: 24

Vielfache von 8: 8, 16, 24 … Vielfache von 6: 6, 12, 18, 24. Die erste gemeinsame Zahl ist 24.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Bestimme das kgV von 8 = 2 · 2 · 2 und 12 = 2 · 2 · 3.

✓ Antwort: 24

2 dreimal (in 8), 3 einmal (in 12): 2 · 2 · 2 · 3 = 24.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Erweitere 7/12 und 3/8 auf den Hauptnenner. Welche Zahl steht im Zähler von 3/8?

✓ Antwort: 9

Hauptnenner: kgV(12, 8) = 24. Faktor für 3/8: 24 : 8 = 3, also 3/8 = 9/24 (und 7/12 = 14/24).

Bruch eingeben #4 20s ▶ Testen

Erweitere auf den Hauptnenner.

✓ Antwort: 3/5 = 6/10

Bruch eingeben #5 20s ▶ Testen

Erweitere auf den Hauptnenner.

✓ Antwort: 3/4 = 6/8

Bruch eingeben #6 20s ▶ Testen

Erweitere auf den Hauptnenner.

✓ Antwort: 2/3 = 6/9

Bruch eingeben #7 20s ▶ Testen

Erweitere auf den Hauptnenner.

✓ Antwort: 4/5 = 8/10

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Blechkuchen ist in 8 gleich große Stücke geschnitten, eine Torte in 12. In mindestens wie viele gleich große Stücke müsste man beide Kuchen teilen, damit man sie Stück für Stück vergleichen kann?

✓ Antwort: 24

Gesucht ist die kleinste Zahl, die in 8 und 12 aufgeht: kgV(8, 12) = 24. Vielfache von 12: 12, 24; 24 : 8 = 3.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Bestimme mit Primfaktoren den Hauptnenner von 5/12 und 7/30 (12 = 2 · 2 · 3, 30 = 2 · 3 · 5).

✓ Antwort: 60

2 zweimal (in 12), 3 einmal, 5 einmal (in 30): 2 · 2 · 3 · 5 = 60. Das Produkt 12 · 30 = 360 wäre sechsmal zu groß.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Wie viele Vierundzwanzigstel hat der größere der Brüche 5/8 und 7/12?

✓ Antwort: 15

5/8 = 15/24 und 7/12 = 14/24. Der größere ist 5/8 mit 15 Vierundzwanzigsteln.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Vergleiche 5/12 und 7/18. Zerlege beide Nenner in Primfaktoren und bestimme daraus den Hauptnenner. Erweitere beide Brüche auf den Hauptnenner, entscheide, welcher Bruch größer ist, und schreibe die Rechnung mit allen Schritten auf. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: 12 = 2 · 2 · 3 und 18 = 2 · 3 · 3. Hauptnenner: 2 · 2 · 3 · 3 = 36. 5/12 = (5 · 3)/(12 · 3) = 15/36 und 7/18 = (7 · 2)/(18 · 2) = 14/36. Da 15/36 > 14/36, ist 5/12 > 7/18.

Hauptnenner 36: 5/12 = 15/36, 7/18 = 14/36 – also ist 5/12 größer. Die Faktoren 3 und 2 ergeben sich als 36 : 12 und 36 : 18.