Reihen mal Spalten

Rows times columns

Mathematik Klasse 5 18 Aufgaben

GeometrieFlächeninhaltUmfangRechteck

Ein Rechteck lässt sich in Reihen aus Einheitsquadraten auslegen: Das Zählen wird zu Reihen mal Quadrate pro Reihe, also A = a · b (Länge mal Breite, beide in derselben Einheit). Das Quadrat ist der Sonderfall A = a · a, der Umfang eines Rechtecks ist U = 2 · (a + b). Ist der Flächeninhalt und eine Seite bekannt, folgt die andere durch Teilen. Räumt aus: Randquadrate zählen, a + b statt a · b rechnen, a · a mit 2 · a verwechseln (De Bock u. a. 2002; Outhred und Mitchelmore 2000). Bereitet die Umrechnung der Flächeneinheiten und alle weiteren Flächenformeln vor.

Reihen mal Spalten

Lege ein Rechteck aus Einheitsquadraten. Ein Regler bestimmt, wie viele Reihen übereinander liegen, der andere, wie viele Quadrate in einer Reihe liegen. Zähl nicht einzeln – schau, wie die Gesamtzahl mit beiden Reglern wächst.

Verändere die Reihen und die Quadrate je Reihe. Was passiert mit dem Flächeninhalt, wenn du eine Reihe dazulegst?

Das Zählen in Reihen ist schon die Formel.

Ein Rechteck lässt sich in Reihen aus Einheitsquadraten auslegen. In jeder Reihe liegen gleich viele Quadrate, die Quadrate je Reihe. Bei 3 Reihen zu 6 Quadraten sind es 3 · 6 = 18 Quadrate. Misst das Rechteck 6 cm in der Länge und 3 cm in der Breite, passen 6 Quadrate in eine Reihe und 3 Reihen übereinander: Die Maßzahlen der Seiten sind die Anzahlen. Also gilt

$A = a \cdot b$

Beide Längen müssen in derselben Einheit stehen: 6 cm · 3 cm = 18 cm². Die Randquadrate zu zählen oder 6 + 3 zu rechnen führt in die Irre.

Quadrat und Umfang

Beim Quadrat sind Länge und Breite gleich: $A = a \cdot a$ . Ein Quadrat mit $a = 3 cm$ hat $9 cm^{2}$ , nicht $2 \cdot 3 = 6$ . Der Umfang ist die Länge des Randes: zwei Längen und zwei Breiten, also $U = 2 \cdot (a + b)$ ; beim Quadrat $U = 4 \cdot a$ . Der Flächeninhalt ist ein Produkt in cm², der Umfang eine Summe in cm.

Verändere a und b und stelle a = b ein. Welche Figur entsteht, und wie unterscheiden sich U und A?

Die fehlende Seite

Oft sind der Flächeninhalt und eine Seite bekannt. Aus $A = a \cdot b$ folgt $b = A : a$ . Ein Beet mit 35 m² und 7 m Länge ist 35 : 7 = 5 m breit. Man teilt, weil Teilen das Malnehmen rückgängig macht; die Probe 7 m · 5 m = 35 m² stimmt.

35 Quadrate, 7 in jeder Reihe: Wie viele Reihen sind es? 35 : 7 = 5.

Voraussetzungen (1)

Mit Quadraten messen

Klasse 5

›

Ermöglicht (5)

Sachaufgaben und Näherung

Klasse 5

›

Vom Parallelogramm zum Rechteck

Klasse 6

›

Zerlegen und Ergänzen

Klasse 5

›

Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Welche Rechnung gibt den Flächeninhalt des Rechtecks?

● 7 cm · 4 cm = 28 cm²
○ 2 · (7 cm + 4 cm) = 22 cm
○ 7 cm + 4 cm = 11 cm²

Der Flächeninhalt ist Länge mal Breite: 7 cm · 4 cm = 28 cm². Die Rechnung 2 · (7 + 4) liefert den Umfang in cm, und 7 + 4 zählt nur zwei Seiten zusammen.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Ein Rechteck mit den Seiten 9 m und 3 m hat den Flächeninhalt 12 m².

✓ Falsch

A = 9 m · 3 m = 27 m². Die 12 entsteht durch 9 + 3.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Ein Kästchen hat 1 cm². Welche Angabe gibt den Flächeninhalt des Rechtecks?

● 4 · 5 = 20 cm²
○ 14 cm² (nur die Randkästchen)
○ 4 + 5 = 9 cm²

Das Rechteck hat 4 Reihen zu 5 Quadraten, also 4 · 5 = 20 cm². Die 14 Randkästchen sind nur ein Teil davon, und 4 + 5 verbindet Länge und Breite falsch.

Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Ein Quadrat hat die Seitenlänge 6 cm. Welchen Flächeninhalt hat es?

● 36 cm²
○ 12 cm²
○ 24 cm²

A = a · a = 6 cm · 6 cm = 36 cm². Die 12 entstehen aus 2 · 6, die 24 sind der Umfang des Quadrats (4 · 6).

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Ein Quadrat mit der Seitenlänge 5 m hat den Umfang 20 m.

✓ Wahr

Vier gleiche Seiten: U = 4 · 5 m = 20 m. Der Flächeninhalt ist dagegen 5 m · 5 m = 25 m².

Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Welche Rechnung gibt den Umfang des Rechtecks?

● 2 · (9 cm + 4 cm) = 26 cm
○ 9 cm · 4 cm = 36 cm
○ 9 cm + 4 cm = 13 cm

Rundherum gibt es zwei Längen und zwei Breiten: 2 · (9 + 4) = 26 cm. 9 · 4 ist der Flächeninhalt (in cm²), und 9 + 4 erfasst nur zwei der vier Seiten.

Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Ein Rechteck mit den Seiten 6 cm und 2 cm hat den Umfang 12 cm.

✓ Falsch

U = 2 · (6 cm + 2 cm) = 16 cm. Die 12 ist 6 · 2, also der Flächeninhalt (12 cm²).

Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Ein Rechteck hat den Flächeninhalt 30 m² und ist 6 m lang. Welche Rechnung liefert die Breite in m?

● 30 : 6
○ 30 · 6
○ 30 − 6

Aus A = a · b folgt b = A : a = 30 : 6 = 5. Das Produkt 30 · 6 würde eine noch größere Fläche ergeben, und 30 − 6 vermischt Fläche und Länge.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Ein Rechteck hat den Flächeninhalt 48 cm² und ist 8 cm lang. Es ist 6 cm breit.

✓ Wahr

Kontrolle mit der Malprobe: 8 cm · 6 cm = 48 cm². Man findet die Breite durch 48 : 8 = 6.

Mittel

Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Ein Rechteck ist 8 cm lang und 5 cm breit. Wie groß ist sein Flächeninhalt in cm²?

✓ Antwort: 40

A = 8 cm · 5 cm = 40 cm².

Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Ein Quadrat hat die Seitenlänge 12 m. Wie groß ist sein Flächeninhalt in m²?

✓ Antwort: 144

A = 12 m · 12 m = 144 m².

Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Ein Rechteck ist 15 m lang und 8 m breit. Wie groß ist sein Umfang in m?

✓ Antwort: 46

U = 2 · (15 m + 8 m) = 2 · 23 m = 46 m.

Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Ein Rechteck hat den Flächeninhalt 72 m² und ist 9 m lang. Wie breit ist es in m?

✓ Antwort: 8

b = 72 m² : 9 m = 8 m, denn 9 m · 8 m = 72 m².

Schwer

Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Ein Schulhof ist 24 m lang und 15 m breit. Wie groß ist sein Flächeninhalt in m²?

✓ Antwort: 360

A = 24 m · 15 m = 360 m² (24 · 10 = 240 und 24 · 5 = 120).

Zahleneingabe #2 45s ▶ Testen

Ein quadratischer Platz hat den Umfang 60 m. Wie groß ist sein Flächeninhalt in m²?

✓ Antwort: 225

Vier gleiche Seiten: a = 60 m : 4 = 15 m. Dann ist A = 15 m · 15 m = 225 m².

Zahleneingabe #3 45s ▶ Testen

Ein Beet ist 12 m lang und 7 m breit. Es wird ganz eingezäunt, nur ein 2 m breites Tor bleibt frei. Wie viel Meter Zaun braucht man?

✓ Antwort: 36

Der ganze Rand: 2 · (12 m + 7 m) = 38 m. Das Tor ist 2 m breit: 38 m − 2 m = 36 m.

Zahleneingabe #4 50s ▶ Testen

Ein rechteckiges Beet hat 45 m² und ist 9 m lang. Wie viel Meter Zaun braucht man einmal rundherum?

✓ Antwort: 28

Breite: 45 : 9 = 5 m. Umfang: 2 · (9 m + 5 m) = 28 m.

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Ein rechteckiger Pausenhof ist 36 m lang und 24 m breit. Er soll gepflastert und rundherum eingezäunt werden. Zeichne eine Skizze und berechne die Größe, die man für das Pflaster braucht, und die Größe, die man für den Zaun braucht. Gib jeweils die Einheit an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze: Rechteck mit 36 m und 24 m. Pflaster: Flächeninhalt A = 36 m · 24 m = 864 m² (36 · 24 = 720 + 144). Zaun: Umfang U = 2 · (36 m + 24 m) = 120 m.

Das Pflaster deckt die Fläche (864 m²), der Zaun läuft am Rand entlang (120 m). Fläche und Umfang sind verschiedene Größen mit verschiedenen Einheiten.