Das Trapez

The Trapezoid

Mathematik Klasse 6 17 Aufgaben
GeometrieFlächeninhaltFlächeninhalt

Ein Trapez hat zwei parallele Seiten a und c; seine Höhe h ist der Abstand dieser Parallelen, nicht ein schräger Schenkel. Zwei gleiche Trapeze ergeben ein Parallelogramm mit der Grundseite a + c, deshalb gilt A = (a + c) · h : 2. Eine Diagonale zerlegt das Trapez in zwei Dreiecke mit gleicher Höhe und liefert dieselbe Formel. Räumt aus: die Klammer vergessen, das Halbieren vergessen, den Schenkel als Höhe nehmen. Bereitet Flächen in Sachsituationen und das Prisma mit Trapez als Grundfläche vor.

Zwei Trapeze, ein Parallelogramm

Ein Trapez hat zwei parallele Seiten, a und c. Die Höhe ist der Abstand dieser Parallelen – nicht einer der schrägen Schenkel. Wie beim Dreieck hilft eine Kopie: Dreht man sie um den Mittelpunkt eines Schenkels um 180°, entsteht ein Parallelogramm. Seine Grundseite ist , seine Höhe ist . Ein Trapez hat die Hälfte davon:

Merke die Klammer: Erst a und c addieren, dann mit h multiplizieren. Man kann sich die Formel auch so vorstellen: ist die mittlere Breite des Trapezes, und mal Höhe ergibt die Fläche.

Drehe die Kopie des Trapezes mit dem Regler. Wie lang ist die Grundseite des Parallelogramms?

Zwei Dreiecke

Man kann das Trapez auch mit einer Diagonale zerlegen. Beide Dreiecke haben die Höhe : das untere die Grundseite , das obere die Grundseite . Also ist , und Ausklammern von liefert dieselbe Formel. Beim Weg mit , und ist ; das untere Dreieck hat 9 m², das obere 6 m². Wird kleiner, nähert sich das Trapez einem Dreieck; wird gleich , ist es ein Parallelogramm.

Verändere die obere Seite c. Bei welchem c ist das Trapez ein Dreieck, bei welchem ein Parallelogramm?

Voraussetzungen (1)

Das Dreieck als halbes Parallelogramm
Klasse 6
›

Ermöglicht (3)

Flächen in Sachsituationen
Klasse 6
›
Flächen zerlegen und vergleichen
Klasse 6
›
Oberfläche zusammengesetzter Körper
Klasse 6
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welche Strecke ist die Höhe des Trapezes ABCD (AB ∥ DC)?

  • ● [CF]
  • ○ [BC]
  • ○ [AC]
Die Höhe ist der senkrecht gemessene Abstand der parallelen Seiten AB und DC. [CF] steht senkrecht auf AB und endet auf DC: Das ist die Höhe. [BC] ist ein schräger Schenkel, [AC] eine Diagonale.
Im Bild tippen #2 15s ▶ Testen

Tippe auf die Höhe des Trapezes ABCD (AB ∥ DC).

✓ Antwort: DE
Die Höhe steht senkrecht auf den parallelen Seiten AB und DC – auch wenn das ganze Trapez gedreht ist. Das ist [DE]. [BC] ist ein Schenkel, [AC] eine Diagonale.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Zwei gleiche Trapeze (a = 8 cm, c = 4 cm) werden zu einem Parallelogramm zusammengesetzt. Welche Grundseite hat es?

  • ● 12 cm
  • ○ 8 cm
  • ○ 16 cm
Die lange Seite des einen Trapezes liegt neben der kurzen Seite der Kopie: Die Grundseite ist a + c = 8 cm + 4 cm = 12 cm. Nur 8 cm wäre nur a, 16 cm wäre 2 · a.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Das Parallelogramm aus zwei gleichen Trapezen hat den Flächeninhalt 72 cm². Wie groß ist ein Trapez?

  • ● 36 cm²
  • ○ 72 cm²
  • ○ 18 cm²
Das Parallelogramm besteht aus zwei gleich großen Trapezen. Jedes hat die Hälfte: 72 cm² : 2 = 36 cm².
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Welche Rechnung liefert den Flächeninhalt des Trapezes?

  • ● (10 + 6) · 4 : 2
  • ○ 10 + 6 · 4 : 2
  • ○ 10 · 6 · 4 : 2
Erst die parallelen Seiten addieren, dann mit der Höhe malnehmen und halbieren: (10 + 6) · 4 : 2 = 32 cm². Ohne Klammer gilt Punkt vor Strich: 10 + 6 · 4 : 2 = 22, nur c wird mit h malgenommen. Ein Produkt der parallelen Seiten (10 · 6) ist keine Trapezformel.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Ein Trapez hat die parallelen Seiten a = 8 cm und c = 4 cm und die Höhe 3 cm. Sein Flächeninhalt ist (8 + 4) · 3 = 36 cm².

✓ Falsch
(8 + 4) · 3 = 36 wäre das Parallelogramm aus zwei Trapezen. Ein Trapez hat die Hälfte: (8 + 4) · 3 : 2 = 18 cm².
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Die Diagonale [AC] zerlegt das Trapez in zwei Dreiecke. Wie groß ist das Dreieck ABC?

  • ● 12 cm²
  • ○ 6 cm²
  • ○ 16 cm²
Das Dreieck ABC hat die Grundseite AB = 8 cm und die Höhe 3 cm: A = 8 · 3 : 2 = 12 cm². 6 cm² wäre das obere Dreieck (Grundseite 4 cm), 16 cm² entstünde mit der falschen Höhe 4 cm.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Die beiden Dreiecke ABC und ACD haben dieselbe Höhe 3 cm.

✓ Wahr
Beide Dreiecke liegen zwischen den parallelen Seiten AB und DC, deren Abstand die Höhe 3 cm ist. Sie unterscheiden sich nur in der Grundseite (8 cm und 4 cm).
Mittel
Lückentext #1 20s ▶ Testen

Die beiden parallelen Seiten eines Trapezes heißen a und ___.

✓ Antwort: c
Im Trapez heißen die parallelen Seiten a und c; a liegt üblicherweise unten, c oben.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Zwei gleiche Trapeze mit den parallelen Seiten a = 7 cm und c = 5 cm werden zu einem Parallelogramm zusammengesetzt. Wie lang ist seine Grundseite (in cm)?

✓ Antwort: 12
Die Grundseite des Parallelogramms ist a + c = 7 cm + 5 cm = 12 cm.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ein Trapez hat die parallelen Seiten a = 9 cm und c = 5 cm und die Höhe h = 6 cm. Wie groß ist sein Flächeninhalt (in cm²)?

✓ Antwort: 42
A = (a + c) · h : 2 = (9 + 5) · 6 : 2 = 14 · 6 : 2 = 84 : 2 = 42 cm².
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Das obere Dreieck ACD hat die Grundseite c = 4 cm und die Höhe h = 3 cm. Wie groß ist sein Flächeninhalt (in cm²)?

✓ Antwort: 6
A = c · h : 2 = 4 cm · 3 cm : 2 = 6 cm².
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Die Kästchen haben die Seitenlänge 1 cm. Die Seiten AB und DC des Trapezes sind parallel. Wie groß ist die Höhe des Trapezes (in cm)?

✓ Antwort: 5
Die Höhe ist der Abstand der parallelen Seiten AB und DC. Diese Seiten verlaufen senkrecht (lotrecht) im Gitter; der Abstand zwischen ihnen ist waagerecht von x = 1 bis x = 6 zu messen: 5 cm. Die Schenkel [BC] und [AD] sind schräg und keine Höhe.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Trapez hat die parallelen Seiten a = 9 cm und c = 3 cm und die Höhe h = 4 cm. Zwei solche Trapeze bilden ein Parallelogramm. Wie groß ist dessen Flächeninhalt (in cm²)?

✓ Antwort: 48
Das Parallelogramm hat die Grundseite a + c = 12 cm und die Höhe 4 cm: A = 12 cm · 4 cm = 48 cm².
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ein trapezförmiger Weg ist an der einen Kante 12 m, an der parallelen Kante 8 m lang; die Kanten haben den Abstand 5 m. Wie groß ist die Fläche des Wegs (in m²)?

✓ Antwort: 50
Die parallelen Seiten sind 12 m und 8 m, die Höhe ist der Abstand 5 m: A = (12 + 8) · 5 : 2 = 50 m².
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Ein Trapez hat a = 10 cm, c = 4 cm und h = 5 cm. Eine Diagonale zerlegt es in zwei Dreiecke. Wie groß ist die Summe ihrer Flächeninhalte (in cm²)?

✓ Antwort: 35
Unteres Dreieck: 10 · 5 : 2 = 25 cm². Oberes Dreieck: 4 · 5 : 2 = 10 cm². Zusammen 35 cm² – wie (10 + 4) · 5 : 2 = 35 cm².
KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Ein Trapez hat die parallelen Seiten a = 10 cm und c = 6 cm und die Höhe h = 4 cm. Berechne seinen Flächeninhalt auf zwei Wegen: (1) mit einer Diagonale in zwei Dreiecke zerlegt, (2) durch Verdoppeln zu einem Parallelogramm. Zeichne zu jedem Weg eine Skizze und vergleiche die Ergebnisse. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Weg 1: Diagonale, unteres Dreieck 10 · 4 : 2 = 20 cm², oberes Dreieck 6 · 4 : 2 = 12 cm², zusammen 32 cm². Weg 2: Zwei Trapeze ergeben ein Parallelogramm mit Grundseite 10 + 6 = 16 cm und Höhe 4 cm, also 64 cm²; ein Trapez hat die Hälfte: 32 cm². Beide Wege liefern (10 + 6) · 4 : 2 = 32 cm².
Weg 1: 10 · 4 : 2 + 6 · 4 : 2 = 20 + 12 = 32 cm². Weg 2: (10 + 6) · 4 = 64 cm² für zwei Trapeze, also 32 cm² für eins. Beide Wege: (a + c) · h : 2 = 32 cm².