Schnittpunkte mit den Achsen

Intercepts with the axes

Mathematik Klasse 8 14 Aufgaben
FunktionenNullstellenGraphenKoordinaten

Der Graph schneidet die y-Achse bei x = 0, im Punkt S(0 | f(0)), und die x-Achse dort, wo f(x) = 0 gilt – an den Nullstellen. Die Station berechnet beide Schnittpunkte, liest sie am Graphen ab und zählt die Nullstellen: keine, eine oder mehrere. Sie räumt vertauschte Koordinaten aus, etwa N(0 | 3) statt N(3 | 0), und die Verwechslung von Nullstelle und y-Achsenabschnitt (Leinhardt et al. 1990). Bereitet Nullstelle und Schnittpunkt zweier Geraden, quadratische Gleichungen und Bruchgleichungen als Schnittprobleme vor.

Der Graph einer Funktion schneidet die Achsen an besonderen Stellen. Auf der y-Achse ist ; der Schnittpunkt ist also . Für ist , also .

Auf der x-Achse ist . Die Stellen mit heißen Nullstellen. Man löst und erhält . Die Nullstelle ist die Zahl 3, der Schnittpunkt der Punkt . Auf jeder Achse steht eine 0 an der passenden Stelle: liegt auf der x-Achse, auf der y-Achse.

In Sachaufgaben haben die Schnittpunkte eine Bedeutung. Eine Kerze brennt so ab: (x in Stunden, h in cm). Dann ist die Höhe am Anfang – der Schnittpunkt mit der y-Achse – und die Nullstelle der Zeitpunkt, zu dem die Kerze abgebrannt ist.

Verschiebe die Gerade mit t. Welcher Chip gehört zum Schnittpunkt S, welcher zu N, und wandern sie in dieselbe Richtung?

Am Graphen zählt man die Schnittpunkte mit der x-Achse: Eine Funktion kann keine, eine oder mehrere Nullstellen haben. Die Parabel zu hat zwei (−2 und 2), die zu keine – sie liegt ganz oberhalb der Achse.

Verschiebe die Parabel mit s. Bei welchem s gibt es zwei, eine oder keine Nullstelle?

Voraussetzungen (1)

Funktionsterm und Funktionswert
Klasse 8
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = 4x − 8 schneidet die y-Achse. Welcher Punkt ist der Schnittpunkt?

  • ● (0 | −8)
  • ○ (−8 | 0)
  • ○ (2 | 0)
Auf der y-Achse ist x = 0, und f(0) = −8: S(0 | −8). (−8 | 0) vertauscht die Koordinaten, (2 | 0) ist der Schnittpunkt mit der x-Achse (4x − 8 = 0 für x = 2).
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Der Schnittpunkt des abgebildeten Graphen mit der y-Achse ist (2 | 0).

✓ Falsch
Auf der y-Achse ist x = 0. Der Graph trifft sie in der Höhe 2: Der Schnittpunkt ist (0 | 2). (2 | 0) läge auf der x-Achse.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Welche Koordinaten hat der Schnittpunkt des abgebildeten Graphen mit der y-Achse?

  • ● (0 | −1)
  • ○ (−1 | 0)
  • ○ (1 | 0)
Der Graph trifft die y-Achse bei x = 0 in der Höhe −1: (0 | −1). Bei (−1 | 0) sind die Koordinaten vertauscht, (1 | 0) ist ein Punkt auf der x-Achse.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Gesucht ist der Schnittpunkt des Graphen von f(x) = 3x − 12 mit der x-Achse. Welcher Punkt ist es?

  • ● (4 | 0)
  • ○ (0 | 4)
  • ○ (0 | −12)
Auf der x-Achse ist y = 0: 3x − 12 = 0 ergibt x = 4, also N(4 | 0). (0 | 4) vertauscht die Koordinaten, (0 | −12) ist der Schnittpunkt mit der y-Achse.
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Die Nullstelle von f(x) = 5x + 20 ist x = 4.

✓ Falsch
5x + 20 = 0 ergibt 5x = −20, also x = −4. Die Probe zeigt es: 5 · 4 + 20 = 40 ≠ 0, aber 5 · (−4) + 20 = 0.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Wie viele Nullstellen hat die abgebildete Funktion?

  • ● zwei
  • ○ eine
  • ○ keine
Der Graph schneidet die x-Achse zweimal, bei x = −1 und x = 1. Die Anzahl der Nullstellen ist die Anzahl der Schnittpunkte mit der x-Achse.
Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Der abgebildete Graph hat eine Nullstelle.

✓ Falsch
Die Parabel liegt ganz oberhalb der x-Achse: Sie schneidet sie nie. Es gibt keine Nullstelle (f(x) = x² + 2 ist immer mindestens 2).
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Bestimme die y-Koordinate des Schnittpunkts von f(x) = −4x + 9 mit der y-Achse.

✓ Antwort: 9
Auf der y-Achse ist x = 0: f(0) = −4 · 0 + 9 = 9. Der Schnittpunkt ist S(0 | 9).
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne die Nullstelle von f(x) = 2x + 10.

✓ Antwort: -5
2x + 10 = 0 → 2x = −10 → x = −5. Probe: 2 · (−5) + 10 = 0.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Lies am Graphen ab: Die kleinere der beiden Nullstellen ist x = ___

✓ Antwort: -1
Der Graph schneidet die x-Achse bei x = −1 und bei x = 3. Die kleinere Nullstelle ist −1. Probe: (−1)² − 2 · (−1) − 3 = 0.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Sparbuch enthält nach x Jahren K(x) = 250 + 15x Euro. Wie viel Euro waren am Anfang (x = 0) darauf?

✓ Antwort: 250
K(0) = 250 + 15 · 0 = 250 €. Der Startwert ist der Funktionswert bei x = 0, also die Höhe des Schnittpunkts mit der y-Achse.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Tank enthält nach x Minuten V(x) = 120 − 8x Liter Wasser. Nach wie vielen Minuten ist er leer?

✓ Antwort: 15
Leer heißt V(x) = 0: 120 − 8x = 0 → 8x = 120 → x = 15. Nach 15 Minuten ist der Tank leer.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Für f(x) = x² − 9 sind 3 und −3 Nullstellen. Wie weit liegen die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse voneinander entfernt?

✓ Antwort: 6
Die Schnittpunkte sind N₁(−3 | 0) und N₂(3 | 0). Ihr Abstand ist 3 − (−3) = 6.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Gegeben ist f(x) = 0,5x − 3. Berechne die Schnittpunkte des Graphen mit der y-Achse und mit der x-Achse und zeichne den Graphen mit Hilfe dieser beiden Punkte. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: y-Achse: x = 0, f(0) = 0,5 · 0 − 3 = −3, also S(0 | −3). x-Achse: 0,5x − 3 = 0 → 0,5x = 3 → x = 6, also N(6 | 0). Die Gerade durch (0 | −3) und (6 | 0) ist der Graph.
Die y-Achse fordert x = 0 (einsetzen), die x-Achse fordert y = 0 (Gleichung lösen). Zwei Punkte legen die Gerade fest.