Punkt und Graph

Point and graph

Mathematik Klasse 8 20 Aufgaben
FunktionenPunktprobeGraphenKoordinaten

Liegt P(a | b) auf dem Graphen von f? Die Punktprobe setzt a in den Term ein und vergleicht f(a) mit b: gleich heißt darauf, b > f(a) darüber, b < f(a) darunter. Dieselbe Rechnung ergänzt fehlende Koordinaten – P(3 | k) liefert k = f(3), Q(k | 10) die Gleichung f(k) = 10. Die Station räumt das Vertauschen von x und y und den Nähe-Trugschluss („sieht aus, als läge er darauf“) aus (Leinhardt et al. 1990). Bereitet das grafische Lösen von Gleichungssystemen und lineare Ungleichungen vor.

Liegt der Punkt auf dem Graphen von ? Das entscheidet die Punktprobe: Man setzt die x-Koordinate ein und vergleicht das Ergebnis mit der y-Koordinate. Es ist , aber P hat die Höhe 7 – also liegt P nicht auf dem Graphen.

Der Vergleich sagt noch mehr: Ist die y-Koordinate kleiner als f(a), liegt der Punkt unterhalb des Graphen (7 < 8); ist sie größer, liegt er oberhalb. Stimmen beide überein, liegt er auf dem Graphen.

Setze P mit p und q. Bei welchen Werten liegt P auf dem Graphen, und wann färbt er sich anders?

Dieselbe Rechnung ergänzt fehlende Koordinaten. Soll auf dem Graphen liegen, muss sein. Ist dagegen die y-Koordinate gegeben, etwa , löst man und erhält . Nur x und y dürfen nicht vertauscht werden: Der Punkt (3 | 10) liegt auf dem Graphen, aber (10 | 3) nicht – denn f(10) = 24, und der Punkt (10 | 3) liegt weit darunter.

Drei Punkte zu f(x) = 2x + 4: Welcher liegt über dem Graphen, welcher auf ihm, welcher darunter? Prüfe mit der Punktprobe.

Voraussetzungen (1)

Funktionsterm und Funktionswert
Klasse 8
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Liegt der Punkt P(3 | 11) auf dem Graphen von f(x) = 2x + 5?

  • ● Ja, denn f(3) = 11.
  • ○ Nein, denn f(11) = 27 und nicht 3.
  • ○ Nein, denn 3 ≠ 11.
Man setzt die x-Koordinate ein: f(3) = 2 · 3 + 5 = 11, das ist die y-Koordinate. Wer 11 einsetzt (f(11) = 27), hat die Koordinaten vertauscht; x und y mit sich selbst zu vergleichen (3 ≠ 11) ist kein Test.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Der Punkt (−1 | −3) liegt auf dem Graphen von f(x) = 2x − 1.

✓ Wahr
f(−1) = 2 · (−1) − 1 = −3, und das ist die y-Koordinate. Der Punkt liegt auf dem Graphen.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Welcher der markierten Punkte liegt auf dem Graphen?

  • ● B
  • ○ A
  • ○ C
B liegt genau auf der Geraden (f(3) = 5). A liegt deutlich darüber (f(1) = 3 < 5), C deutlich darunter (f(4) = 6 > 3).
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Für f(x) = 2x + 3 ist f(4) = 11. Wo liegt der Punkt Q(4 | 9)?

  • ● unterhalb des Graphen
  • ○ oberhalb des Graphen
  • ○ auf dem Graphen
An der Stelle 4 liegt der Graph in der Höhe 11. Q hat nur die Höhe 9 < 11, liegt also darunter.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Welcher der markierten Punkte liegt oberhalb des Graphen?

  • ● C
  • ○ A
  • ○ B
C(2 | 6) liegt über dem Graphen von f(x) = x², denn f(2) = 4 < 6. A(−2 | 3) liegt darunter (f(−2) = 4 > 3), B(1 | 1) genau auf dem Graphen.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Der Punkt R(−2 | 5) liegt oberhalb des Graphen von f(x) = x².

✓ Wahr
f(−2) = (−2)² = 4. Die Höhe von R ist 5 > 4, also liegt R oberhalb des Graphen.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Der Punkt P(3 | k) soll auf dem Graphen von f(x) = 2x − 1 liegen. Wie findest du k?

  • ● k = f(3) = 2 · 3 − 1 = 5
  • ○ 3 = 2k − 1, also k = 2
  • ○ k = 3
x = 3 ist gegeben, also ist k der Funktionswert: k = f(3) = 5. Wer 3 = 2k − 1 löst, setzt die Zahl 3 an der falschen Stelle ein; k = 3 verwechselt k mit x.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Der Punkt Q(k | 7) liegt für k = 4 auf dem Graphen von f(x) = 2x − 1.

✓ Wahr
f(4) = 2 · 4 − 1 = 7. Mit k = 4 stimmt die y-Koordinate 7.
Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Der Punkt P(3 | k) liegt auf dem abgebildeten Graphen (die gestrichelte Linie steht bei x = 3). Welchen Wert hat k?

  • ● 5
  • ○ 3
  • ○ 7
Bei x = 3 trifft die gestrichelte Linie den Graphen in der Höhe 5: k = 5. Rechnerisch: f(3) = 2 · 3 − 1 = 5.
Wahr / Falsch #10 25s ▶ Testen

Liegt P(2 | 7) auf dem Graphen von f(x) = 3x + 1?

✓ Ja
Wahr / Falsch #11 25s ▶ Testen

Liegt P(3 | 5) auf dem Graphen von f(x) = 2x − 1?

✓ Ja
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Der Punkt Q(5 | 12) soll auf dem Graphen von f(x) = 2x + 2 liegen. Berechne f(5).

✓ Antwort: 12
f(5) = 2 · 5 + 2 = 12. Das stimmt mit der y-Koordinate 12 überein: Q liegt auf dem Graphen.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Für f(x) = x² − 1 ist f(3) = 8. Der Punkt Q(3 | k) mit ganzzahligem k soll oberhalb des Graphen liegen. Welches ist der kleinste solche Wert von k?

✓ Antwort: 9
Oberhalb heißt k > 8. Die kleinste ganze Zahl mit k > 8 ist 9. Bei k = 8 läge Q auf dem Graphen.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Der Punkt P(5 | k) liegt auf dem Graphen von f(x) = 3x − 2. Berechne k.

✓ Antwort: 13
k = f(5) = 3 · 5 − 2 = 13.
Zahleneingabe #4 40s ▶ Testen

Der Punkt P(3 | y) liegt auf dem Graphen von f(x) = 2x − 5. Wie groß ist y?

✓ Antwort: 1
Zahleneingabe #5 40s ▶ Testen

Der Punkt P(4 | y) liegt auf dem Graphen von f(x) = 3x − 7. Wie groß ist y?

✓ Antwort: 5
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Wie viele der Punkte A(0 | 1), B(1 | 3), C(2 | 5) und D(3 | 8) liegen auf dem Graphen von f(x) = 2x + 1?

✓ Antwort: 3
f(0) = 1, f(1) = 3, f(2) = 5 stimmen mit den y-Koordinaten überein. Bei D ist f(3) = 7, nicht 8. Also liegen 3 Punkte auf dem Graphen.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Wie viele der Punkte (1 | 0), (1 | 2), (1 | 4) und (1 | 6) liegen unterhalb des Graphen von f(x) = x² + 3?

✓ Antwort: 2
f(1) = 1² + 3 = 4. Unterhalb liegen die Punkte mit y < 4: (1 | 0) und (1 | 2). Der Punkt (1 | 4) liegt auf dem Graphen.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Der Punkt Q(k | 5) mit positivem k liegt auf dem Graphen von f(x) = x² + 1. Berechne k.

✓ Antwort: 2
Die y-Koordinate ist gegeben: k² + 1 = 5, also k² = 4 und k = 2 (positiv). Probe: f(2) = 5.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Gegeben ist f(x) = 0,5x² − 2. Prüfe rechnerisch, ob A(4 | 6) und B(−2 | 1) auf dem Graphen liegen, und sage bei B, ob der Punkt darüber oder darunter liegt. Bestimme außerdem k so, dass C(3 | k) auf dem Graphen liegt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: f(4) = 0,5 · 16 − 2 = 6: A liegt auf dem Graphen. f(−2) = 0,5 · 4 − 2 = 0, aber B hat die Höhe 1 > 0: B liegt nicht auf dem Graphen, sondern oberhalb. C: k = f(3) = 0,5 · 9 − 2 = 2,5.
Punktprobe: x einsetzen und mit der y-Koordinate vergleichen. Gleich heißt „auf dem Graphen“, größer heißt „darüber“. Für C wird nur eingesetzt.