Zuordnungen darstellen

Representing relationships

Mathematik Klasse 8 18 Aufgaben
FunktionenGraphenWertetabelleKoordinaten

Eine funktionale Abhängigkeit lässt sich als Wertetabelle, als Graph und als Term beschreiben – dieselbe Zuordnung in drei Darstellungen (Stromtarif, Temperaturverlauf, Bevölkerung). Die Station übersetzt zwischen ihnen: Spalten der Tabelle werden Punkte (x | y), am Graphen liest man zu x die Höhe y ab, im Term setzt man x ein und rechnet y aus. Sie räumt das Vertauschen der Koordinaten und den Graphen-als-Bild-Fehler aus (Clement 1989; Leinhardt et al. 1990). Bereitet die Eindeutigkeit der Funktion, die Schreibweise f(x) und alle folgenden Funktionskurse vor.

Die Wertetabelle

Ein Fahrradverleih verlangt für x Stunden Mietdauer den Preis y in Euro. Die Wertetabelle hält einzelne Paare fest: Zu 1 Stunde gehören 6 €, zu 2 Stunden 8 €, zu 3 Stunden 10 €. Jede Spalte ist ein Paar und im Koordinatensystem ein Punkt: erst x nach rechts, dann y nach oben. Die erste Spalte ergibt , nicht . So wird aus der Tabelle Spalte für Spalte eine Reihe von Punkten – noch keine Kurve, denn zwischen den Spalten steht bisher nichts.

Wähle mit dem Regler eine Spalte der Tabelle. Welcher Punkt gehört zu ihr, und welche Zahl steht bei x, welche bei y?

Der Graph

Alle Punkte zusammen bilden den Graphen. Man liest ihn so ab: von x auf der Achse senkrecht bis zur Kurve, dann waagerecht zum y-Wert. Bei 4 Stunden ergibt das 12 €. Auch umgekehrt geht es: Zu 16 € gehören 6 Stunden.

Ein Graph ist kein Foto der Situation. Fällt eine Kurve, die die Temperatur im Lauf eines Tages zeigt, so geht es nicht bergab, sondern es wird kälter: Die Höhe der Kurve ist die Temperatur, nicht die Höhe eines Weges. Erst die Achsen sagen, was die Kurve bedeutet. Deshalb gehört zu jedem Graphen immer die Frage: Was steht an der x-Achse, was an der y-Achse?

Verschiebe P entlang des Graphen. Welchen Preis liest du zu 4 Stunden ab, und wie lange kannst du für 12 € mieten?

Der Term

Am kürzesten sagt es ein Term: Preis = 2 · Stunden + 4, kurz . Man setzt für x eine Mietdauer ein und rechnet den Preis aus: Für ist . Tabelle, Graph und Term beschreiben dieselbe Zuordnung – die Tabelle einzelne Werte, der Graph den ganzen Verlauf, der Term jeden Wert. Welche Darstellung man wählt, hängt von der Frage ab: Preise nachschlagen (Tabelle), Verläufe vergleichen (Graph), viele Werte ausrechnen (Term).

Rechenbaum zum Term 2 · 3 + 4 mit dem Ergebnis 10 + = 10 · = 6 2 3 4
Der Term für x = 3 als Rechenbaum: erst multiplizieren, dann addieren.

Ermöglicht (1)

Eindeutige Zuordnungen
Klasse 8
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Die Wertetabelle zeigt für einen Bootsverleih zur Mietdauer x (in Stunden) den Preis y (in Euro). Welcher Punkt gehört zur dritten Spalte?

  • ● P(3 | 14)
  • ○ P(14 | 3)
  • ○ P(3 | 11)
Die dritte Spalte ist x = 3, y = 14, also P(3 | 14): erst x, dann y. P(14 | 3) vertauscht die Reihenfolge, P(3 | 11) mischt das x der dritten mit dem y der zweiten Spalte.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Der Punkt P im Koordinatensystem gehört zu einer Spalte einer Wertetabelle. Welche Spalte ist es?

  • ● x = 5, y = 2
  • ○ x = 2, y = 5
  • ○ x = 5, y = 5
P liegt 5 Einheiten rechts vom Ursprung und 2 Einheiten darüber: x = 5, y = 2. Bei x = 2, y = 5 wären die Zahlen vertauscht.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Zur Spalte x = 0, y = 4 gehört ein Punkt auf der y-Achse.

✓ Wahr
Der Punkt P(0 | 4) hat die x-Koordinate 0: Er liegt auf der y-Achse, 4 Einheiten über dem Ursprung.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Der Graph zeigt den Mietpreis y (in Euro) für x Stunden. Was kostet eine Miete von 5 Stunden?

  • ● 14 €
  • ○ 5 €
  • ○ 9 €
Von x = 5 auf der x-Achse senkrecht hoch zur Kurve, dann waagerecht zur y-Achse: 14 €. 5 wäre der x-Wert selbst, 9 ergibt sich aus 4 + 5.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Die Kurve zeigt, wie weit Mia von zu Hause entfernt ist (y in km) zur Uhrzeit x. Was bedeutet das fallende Stück von 11 bis 14 Uhr?

  • ● Mia fährt zurück nach Hause.
  • ○ Mia fährt einen Berg hinunter.
  • ○ Mia bleibt stehen.
Die y-Achse misst die Entfernung, nicht die Höhe. Fällt die Kurve, wird die Entfernung kleiner: Mia fährt heim. Ein Graph ist kein Foto der Strecke. Stehen bleiben würde die Kurve waagerecht zeigen.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Um 10 Uhr ist Mia 7 km von zu Hause entfernt.

✓ Falsch
Bei x = 10 liest man an der Kurve y = 8 ab, nicht 7: d(10) = 9 − (10 − 11)² = 8. Um 9 Uhr wären es 5 km.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Ein Skateverleih berechnet für x Stunden den Preis y = 3x + 2. Welche Rechnung liefert den Preis für 5 Stunden?

  • ● 3 · 5 + 2
  • ○ 3 · 2 + 5
  • ○ 3 + 5 + 2
Für x wird 5 eingesetzt: y = 3 · 5 + 2 = 17. 3 · 2 + 5 vertauscht die Rollen der Zahlen, 3 + 5 + 2 lässt das Malzeichen weg.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Für y = 3x − 2 gehört zu x = 4 der Wert y = 10.

✓ Wahr
3 · 4 − 2 = 12 − 2 = 10.
Mittel
Lückentext #1 20s ▶ Testen

Zur Spalte x = 4, y = 9 gehört der Punkt P(4 | ___).

✓ Antwort: 9
Die Spalte (x | y) = (4 | 9) ergibt den Punkt P(4 | 9): erst x, dann y.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Lies am Graphen ab: Um 9 Uhr ist Mia ___ km von zu Hause entfernt.

✓ Antwort: 5
Von x = 9 senkrecht hoch zur Kurve, dann waagerecht: y = 5. Rechnerisch: 9 − (9 − 11)² = 9 − 4 = 5.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ein Stromtarif kostet 8 € Grundgebühr und 0,30 € je Kilowattstunde: y = 0,3x + 8 (x in kWh, y in €). Berechne y für x = 50.

✓ Antwort: 23
y = 0,3 · 50 + 8 = 15 + 8 = 23 €.
Zahleneingabe #4 40s ▶ Testen

Setze x = 5 in den Term 2x + 1 ein.

✓ Antwort: 11
Zahleneingabe #5 40s ▶ Testen

Zuordnung „Zahl → das Dreifache". Welcher y-Wert gehört zu x = 7?

✓ Antwort: 21
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Die drei markierten Punkte gehören zu den Spalten einer Wertetabelle. Welchen y-Wert hat die Spalte mit x = 3?

✓ Antwort: 6
Der Punkt mit x = 3 ist B(3 | 6). Sein y-Wert ist 6.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Der Graph zeigt den Mietpreis y (in Euro) für x Stunden. Wie viele Stunden kann man für 20 € mieten?

✓ Antwort: 8
Diesmal ist y gegeben: Von y = 20 auf der y-Achse waagerecht zur Kurve, dann senkrecht zur x-Achse: x = 8. Probe: 2 · 8 + 4 = 20.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Eine Stadt hat 12 000 Einwohner und wächst jedes Jahr um 250: y = 12 000 + 250x (x in Jahren). Wie viele Einwohner hat sie nach 8 Jahren?

✓ Antwort: 14000
y = 12 000 + 250 · 8 = 12 000 + 2 000 = 14 000.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Für y = 4x − 1 fehlt in der Wertetabelle der y-Wert zu x = 2,5. Berechne ihn.

✓ Antwort: 9
y = 4 · 2,5 − 1 = 10 − 1 = 9. Auch bei Dezimalzahlen wird x einfach eingesetzt.
KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Der Fahrradverleih verlangt y = 2x + 4 (x in Stunden, y in Euro). Stelle eine Wertetabelle für x = 0, 1, 2, 3, 4 auf, zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem und lies am Graphen ab, wie lange man für 12 € mieten kann. Prüfe das Ergebnis mit dem Term. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Wertetabelle: x = 0, 1, 2, 3, 4 mit y = 4, 6, 8, 10, 12. Punkte (0 | 4), (1 | 6), (2 | 8), (3 | 10), (4 | 12) einzeichnen (x nach rechts, y nach oben). Am Graphen gehört y = 12 zu x = 4. Probe mit dem Term: 2 · 4 + 4 = 12. Man kann 4 Stunden mieten.
Aus dem Term entstehen die Spalten der Tabelle, aus den Spalten die Punkte, aus den Punkten der Graph. Umgekehrt liest man an y = 12 die Mietdauer x = 4 ab.