Rechenvorteile nutzen

Calculation shortcuts

Mathematik Klasse 5 20 Aufgaben
ArithmetikKommutativitätAssoziativität

Beim Addieren gelten Kommutativ- und Assoziativgesetz: Summanden lassen sich vertauschen und beliebig zusammenfassen, samt Vorzeichen. Für Differenzen gilt das nicht (8 − 3 ≠ 3 − 8), aber jede Differenz ist eine Summe, und dann bleibt das Minus beim Umordnen an seiner Zahl. So findet man Gegenzahlen, die sich aufheben (−38 + 25 + 38), und glatte Summen (64 + (−17) + 36). Räumt aus: „Subtraktion ist vertauschbar“ und das Zurücklassen des Minuszeichens. Bereitet die Rechengesetze der Multiplikation, Punkt vor Strich und die Termumformungen der 7. Jahrgangsstufe vor.

Beim Addieren darfst du Summanden vertauschen und beliebig zusammenfassen: (Kommutativgesetz) und (Assoziativgesetz). Für die Subtraktion gilt das nicht: .

Weil jede Differenz eine Summe ist, kannst du auch Differenzen umordnen. Wichtig: Das Vorzeichen bleibt bei seiner Zahl.

Das bringt Rechenvorteile. Suche Gegenzahlen, die sich aufheben: . Fasse Zahlen zu glatten Summen zusammen: .

Jede Umordnung musst du prüfen können: und haben denselben Wert. Ordnest du dagegen die Vorzeichen um, wie in , ändert sich der Wert.

Ein guter Rechenweg beginnt mit dem Suchen: Welche Zahlen ergeben zusammen 0, 10 oder 100? Sie kommen zuerst dran.

Ändere a und b. Beide Wege enden im selben Ziel – auch wenn die Pfeile in anderer Reihenfolge kommen.

Voraussetzungen (1)

Subtrahieren: die Gegenzahl addieren
Klasse 5
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welcher Term hat immer denselben Wert wie −5 + 9?

  • ● 9 + (−5)
  • ○ 5 − 9
  • ○ −9 + 5
Beim Addieren dürfen die Summanden vertauscht werden, samt ihrer Vorzeichen: −5 + 9 = 9 + (−5) = 4. 5 − 9 und −9 + 5 haben den Wert −4: Dort wurden die Vorzeichen geändert.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Die Zeichnung zeigt zwei Pfeile hintereinander, gestartet bei 0. Welche Summe gehört zu den Pfeilen?

  • ● −4 + 7
  • ○ −4 − 7
  • ○ 4 + 7
Der erste Pfeil geht 4 nach links (−4), der zweite 7 nach rechts (+7): −4 + 7 = 3. Bei −4 − 7 zeigte auch der zweite Pfeil nach links, bei 4 + 7 begänne der Weg mit einem Pfeil nach rechts.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

8 − 3 hat denselben Wert wie 3 − 8.

✓ Falsch
Bei der Subtraktion darf man die Zahlen nicht vertauschen: 8 − 3 = 5, aber 3 − 8 = −5. Nur die Addition ist vertauschbar: 8 + (−3) = (−3) + 8 = 5.
Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Vertauscht man die beiden Pfeile der Zeichnung, endet der Weg beim selben Ziel.

✓ Wahr
Die Pfeile gehören zu 5 + (−4) = 1. Vertauscht: −4 + 5 = 1. Bei einer Summe darf man die Summanden vertauschen, das Ziel bleibt.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Welches Ergebnis hat −38 + 25 + 38? Nutze einen Rechenvorteil.

  • ● 25
  • ○ −25
  • ○ 101
−38 und 38 sind Gegenzahlen und heben sich auf: (−38 + 38) + 25 = 0 + 25 = 25. −25 wäre das Vorzeichen falsch, 101 addiert alle Beträge.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

In −47 + 15 + 47 heben sich −47 und 47 auf, es bleibt −15.

✓ Falsch
−47 und 47 sind Gegenzahlen, ihre Summe ist 0. Dann bleibt 0 + 15 = 15, mit dem Vorzeichen, das die 15 hat: positiv. −15 entstünde, wenn das Vorzeichen der übrigen Zahl verloren ginge.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Welche Umordnung von 20 − 8 + 5 hat denselben Wert?

  • ● 20 + 5 − 8
  • ○ 20 − 5 + 8
  • ○ 8 − 20 + 5
Jede Zahl behält ihr Vorzeichen: 20 − 8 + 5 = 20 + (−8) + 5 = 20 + 5 + (−8) = 20 + 5 − 8 = 17. Bei 20 − 5 + 8 (Wert 23) sind die Vorzeichen vertauscht, bei 8 − 20 + 5 (Wert −7) der Start.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

12 − 20 + 8 hat denselben Wert wie 12 + 8 − 20.

✓ Wahr
Beide Terme sind die Summe 12 + (−20) + 8. Das Minus bleibt bei der 20, die Reihenfolge der Summanden ist egal: Beide haben den Wert 0.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Es gilt −13 + 6 = 6 + x. Bestimme x.

✓ Antwort: -13
Beim Vertauschen der Summanden bleibt jede Zahl mit ihrem Vorzeichen: −13 + 6 = 6 + (−13). Also x = −13.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Fasse geschickt zusammen: 64 + (−17) + 36 = ?

✓ Antwort: 83
64 + 36 = 100 (glatte Summe), dann 100 + (−17) = 83.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Rechne geschickt: 47 − 38 + 3 = ?

✓ Antwort: 12
Ordne um: 47 + 3 − 38 = 50 − 38 = 12. Das Minus bleibt bei der 38.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Lea rechnet 3 + (−15), Tom rechnet −15 + 3. Welchen Wert erhalten beide?

✓ Antwort: -12
Beide Summen haben dieselben Summanden in anderer Reihenfolge: 3 + (−15) = −15 + 3 = −12.
Zahleneingabe #5 30s ▶ Testen

Rechne geschickt: 45 + (−18) + 55 + 18 = ?

✓ Antwort: 100
−18 und 18 sind Gegenzahlen und heben sich auf. 45 + 55 = 100 ist eine glatte Summe. Ergebnis 100.
Zahleneingabe #6 30s ▶ Testen

Ordne um und rechne: 75 − 48 + 25 = ?

✓ Antwort: 52
Das Minus bleibt bei der 48: 75 + 25 − 48 = 100 − 48 = 52.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Am ersten Tag werden erst 25 € eingezahlt und dann 40 € abgebucht. Am zweiten Tag wird zuerst abgebucht (40 €), dann eingezahlt (25 €). Beide Male war der Kontostand vorher 0 €. Wie hoch ist der Kontostand nach dem zweiten Tag (in €)?

✓ Antwort: -15
25 + (−40) = −15 und −40 + 25 = −15: Die Reihenfolge ändert die Summe nicht. Der Kontostand beträgt −15 €.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Konto steht bei 0 €. Es werden 75 € eingezahlt, dann 40 € abgebucht, dann 25 € eingezahlt. Wie hoch ist der Kontostand (in €)? Fasse geschickt zusammen.

✓ Antwort: 60
75 + (−40) + 25: Erst 75 + 25 = 100 zusammenfassen, dann 100 + (−40) = 60. Der Kontostand beträgt 60 €.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Rechne geschickt: 62 − 25 + 38 − 15 = ?

✓ Antwort: 60
Ordne um: 62 + 38 − 25 − 15 = 100 − 40 = 60. Jedes Minus bleibt bei seiner Zahl.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Berechne −56 + 34 + 56 − 14 + 26 möglichst geschickt. Schreibe auf, wie du umordnest, und nenne, welche Zahlen sich aufheben und welche du zusammenfasst. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Die Gegenzahlen −56 und 56 heben sich auf (Summe 0). 34 + 26 = 60 ist eine glatte Summe. Dann bleibt 60 − 14 = 46. Ergebnis: 46.
Weil jede Differenz eine Summe ist, dürfen alle Summanden umgeordnet werden, wenn das Vorzeichen bei seiner Zahl bleibt: (−56 + 56) + (34 + 26) + (−14) = 0 + 60 − 14 = 46.
Zahleneingabe #5 30s ▶ Testen

Für 14 − 9 vertauscht Lea die Zahlen und rechnet 9 − 14. Um wie viel liegt ihr Ergebnis unter dem richtigen?

✓ Antwort: 10
14 − 9 = 5, aber 9 − 14 = −5. Von −5 bis 5 sind es 10. Eine Differenz darf man nicht vertauschen; vertauschbar wäre die Summe 14 + (−9) = −9 + 14.
Zahleneingabe #6 30s ▶ Testen

In einem Spiel bekommt Jonas nacheinander +35, −12, −35 und +40 Punkte. Er startet bei 0. Wie viele Punkte hat er am Ende? Fasse geschickt zusammen.

✓ Antwort: 28
+35 und −35 heben sich auf. Es bleibt −12 + 40 = 28 Punkte.