Geradengleichung aufstellen

Setting up a line equation

Mathematik Klasse 8 16 Aufgaben

FunktionenLineare FunktionenGeraden

Aus der Steigung m und einem Punkt P(x₁ | y₁) folgt t = y₁ − m · x₁; aus zwei Punkten berechnet man erst m = Δy : Δx und setzt dann einen Punkt ein. Die Station übt beides samt Probe, behandelt waagerechte Geraden (m = 0) und die senkrechte Gerade x = a, die keine Funktion ist, und räumt Vorzeichenfehler bei t, vermischte Subtraktionsreihenfolgen und y von A als t aus (Leinhardt et al. 1990). Bereitet Nullstelle und Schnittpunkt, Ausgleichsgerade, Tangente und Vektorgerade vor.

Aus Punkt und Steigung, aus zwei Punkten

Oft kennt man von einer Geraden nur die Steigung und einen Punkt. Eine Gerade hat m = 2 und geht durch $B (3 ∣ 7)$ . Es fehlt nur t. Weil B auf der Geraden liegt, muss die Punktprobe stimmen, die du von Funktionen kennst: Setzt man die x-Koordinate ein, kommt die y-Koordinate heraus. Also $7 = 2 \cdot 3 + t$ . Diese Gleichung löst man wie jede andere, auf beiden Seiten 6 abziehen: $t = 7 - 6 = 1$ . Die Gleichung lautet $y = 2 x + 1$ . Allgemein gilt für einen Punkt $P (x_{1} ∣ y_{1})$ : $t = y_{1} - m \cdot x_{1}$ . Wer die 6 addiert statt abzieht, erhält t = 13, und $y = 2 x + 13$ verfehlt B: $2 \cdot 3 + 13 = 19$ , nicht 7.

Sind zwei Punkte gegeben, berechnet man erst m und dann t. Für $A (1 ∣ 3)$ und $B (3 ∣ 7)$ ist $m = \frac{7 - 3}{3 - 1} = 2$ . Dann setzt man A ein: $3 = 2 \cdot 1 + t$ , also $t = 1$ . Zur Probe muss B passen: $2 \cdot 3 + 1 = 7$ . Beide Wege führen auf dieselbe Gerade $y = 2 x + 1$ zurück. Zähler und Nenner subtrahiert man in derselben Reihenfolge: $\frac{7 - 3}{1 - 3} = - 2$ wäre eine fallende Gerade, obwohl B rechts oberhalb von A liegt. In der Abbildung ist A fest; verschiebe B und lies m und t an den Chips ab. Bei B(3 | 7) zeigen sie 2 und 1.

A ist fest, B startet bei (3 | 7). Verschiebe B. Bei welcher Lage von B ist m negativ, und was zeigt dann der Chip t?

Waagerecht und senkrecht

Haben beide Punkte dasselbe y, ist $Δ y = 0$ und $m = 0$ : Die Gerade $y = c$ ist waagerecht. Haben sie dasselbe x, ist $Δ x = 0$ , und durch null teilt man nicht: Es gibt keine Steigung. Die senkrechte Gerade $x = a$ ist auch keine Funktion, denn eine Funktion ordnet jedem x genau ein y zu, und hier gehören zu dem einen x unendlich viele y. Deshalb schreibt man senkrechte Geraden nicht als y = m · x + t, sondern als x = a.

Verschiebe beide Geraden. Welche lässt sich als y = m · x + t schreiben, und welche nicht?

Voraussetzungen (1)

Was m und t bedeuten

Klasse 8

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Eine Gerade hat die Steigung m = 2 und geht durch den abgebildeten Punkt P. Welche Gleichung hat sie?

● y = 2x − 1
○ y = 2x + 5
○ y = 2x + 11

P(3 | 5) einsetzen: 5 = 2 · 3 + t, also t = 5 − 6 = −1. y = 2x + 5 nimmt die y-Koordinate von P als t, y = 2x + 11 rechnet 5 + 6 statt 5 − 6.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Die Gerade y = −x + 6 geht durch den Punkt P(2 | 4).

✓ Wahr

Einsetzen von x = 2: y = −2 + 6 = 4. Die y-Koordinate stimmt, P liegt auf der Geraden.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Eine Gerade mit m = 3 durch P(1 | 2) hat den y-Achsenabschnitt t = 5.

✓ Falsch

Aus 2 = 3 · 1 + t folgt t = 2 − 3 = −1. Die 5 entsteht, wenn man 3 auf 2 addiert statt subtrahiert: t = y₁ − m · x₁, nicht y₁ + m · x₁.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Welche Gleichung hat die Gerade durch die abgebildeten Punkte A und B?

● y = 3x − 1
○ y = 3x + 2
○ y = 6x − 4

A(1 | 2), B(3 | 8): m = (8 − 2) : (3 − 1) = 3, dann 2 = 3 · 1 + t, also t = −1. y = 3x + 2 übernimmt y von A als t, y = 6x − 4 nimmt nur Δy = 6 als Steigung.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Welche Gleichung hat die abgebildete Gerade durch A und B?

● y = −x + 2
○ y = −x + 4
○ y = x + 2

A(−2 | 4), B(2 | 0): m = (0 − 4) : (2 − (−2)) = −4 : 4 = −1; mit B: 0 = −2 + t, also t = 2. y = −x + 4 nimmt das y von A, y = x + 2 übersieht das Gefälle.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Die Gerade durch P(0 | 3) und Q(2 | 7) hat die Gleichung y = 2x + 3.

✓ Wahr

P liegt auf der y-Achse, also t = 3. m = (7 − 3) : (2 − 0) = 2. Probe mit Q: 2 · 2 + 3 = 7.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Welche Gleichung hat die Gerade durch (1 | 4) und (5 | 4)?

● y = 4
○ x = 4
○ y = 4x

Beide Punkte haben y = 4: Δy = 0, also m = 0 und die Gerade ist waagerecht: y = 4. x = 4 wäre senkrecht, y = 4x ginge durch den Ursprung.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Die senkrechte Gerade x = 2 ist der Graph einer Funktion.

✓ Falsch

Zu x = 2 gehören unendlich viele y-Werte – die Zuordnung ist nicht eindeutig, also keine Funktion. Außerdem wäre Δx = 0, die Steigung nicht definiert.

Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Welche Gleichung gehört zur abgebildeten Geraden?

● y = −2
○ x = −2
○ y = −2x

Die Gerade ist waagerecht und liegt bei y = −2 (m = 0, t = −2). x = −2 wäre senkrecht, y = −2x wäre eine fallende Ursprungsgerade.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Eine Gerade hat die Steigung m = −2 und geht durch den abgebildeten Punkt P(3 | 1). Berechne t.

✓ Antwort: 7

1 = −2 · 3 + t = −6 + t, also t = 1 + 6 = 7. Die Gerade ist y = −2x + 7.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne die Steigung der Geraden durch die abgebildeten Punkte A(−1 | 4) und B(3 | −4).

✓ Antwort: -2

m = (−4 − 4) : (3 − (−1)) = −8 : 4 = −2. Wichtig: in Zähler und Nenner in derselben Reihenfolge (B minus A) subtrahieren.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Welche Steigung hat die Gerade durch A(−3 | 5) und B(4 | 5)?

✓ Antwort: 0

Δy = 5 − 5 = 0, Δx = 4 − (−3) = 7: m = 0 : 7 = 0. Die Gerade y = 5 ist waagerecht.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Ballon steigt gleichmäßig 4 m je Sekunde. Nach 5 s ist er 30 m hoch. In welcher Höhe (in m) ist er gestartet?

✓ Antwort: 10

y = 4x + t mit (5 | 30): 30 = 4 · 5 + t = 20 + t, also t = 10. Die Startwert-Höhe ist 10 m.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Eine Gerade geht durch A(2 | 5) und B(4 | 11). Welchen y-Wert hat sie bei x = 0?

✓ Antwort: -1

m = (11 − 5) : (4 − 2) = 3. Aus 5 = 3 · 2 + t folgt t = −1; bei x = 0 ist y = t = −1.

KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Die Gerade g geht durch A(−2 | 7) und B(4 | −2). Stelle ihre Gleichung auf, mache die Probe mit einem Punkt und entscheide, ob C(2 | 1) auf g liegt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: m = (−2 − 7) : (4 − (−2)) = −9 : 6 = −1,5. Mit A: 7 = −1,5 · (−2) + t = 3 + t, also t = 4. g: y = −1,5x + 4. Probe mit B: −1,5 · 4 + 4 = −2. C: −1,5 · 2 + 4 = 1 – ja, C liegt auf g.

m = −9 : 6 = −1,5; t = 7 − 3 = 4; y = −1,5x + 4. Probe B: −6 + 4 = −2. C: −3 + 4 = 1 ✓.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Eine waagerechte Gerade geht durch den Punkt (2 | 3). Welchen y-Wert hat sie bei x = 100?

✓ Antwort: 3

Eine waagerechte Gerade y = c hat überall denselben y-Wert: c = 3, also y = 3 – egal bei welchem x.