Was m und t bedeuten

What m and t mean

Mathematik Klasse 8 19 Aufgaben

FunktionenLineare FunktionenGeraden

In y = m · x + t ist m die Steigung und t der y-Achsenabschnitt: Bei x = 0 ist y = t, die Gerade trifft die y-Achse also in S(0 | t). Die Station liest m und t aus Gleichungen wie y = 5 − 2x, deutet t als Startwert (Grundgebühr, Anfangsmenge) und zeigt, wie t die Gerade verschiebt und m sie dreht; gleiches m heißt parallel. Sie räumt die Vertauschung von m und t, t als Nullstelle und „steil wegen der großen Zahl“ aus (Leinhardt et al. 1990; Clement 1989). Bereitet Zeichnen, Ablesen und Aufstellen von Geraden vor.

Steigung und Startwert

Zwei Regler, eine Gerade. Bewege zuerst nur den einen, dann nur den anderen, und achte darauf, was die Gerade jeweils tut: Wandert sie, oder dreht sie sich?

Ändere erst t, dann m. Welcher der beiden Regler lässt den Punkt S auf der y-Achse wandern, welcher kippt die Gerade?

Jeder der beiden Regler ist eine Zahl im Term der Geraden. Tarif A kostet 6 € Grundgebühr und 0,10 € je Minute. Nach x Minuten zahlt man also $y = 0, 10 \cdot x + 6$ . Der Preis hat zwei Teile: Der erste wächst mit jeder Minute um die Steigung 0,10, der zweite ist schon bei 0 Minuten da. Setzt man $x = 0$ ein, bleibt $y = 6$ : Die Gerade trifft die y-Achse in (0 | 6). Das kennst du von den Schnittpunkten mit den Achsen: Jeder Graph schneidet die y-Achse bei x = 0, im Punkt S(0 | f(0)).

Jede Gerade aus diesem Kurs lässt sich so schreiben:

$y = m \cdot x + t$

Dabei ist m die Steigung aus dem Steigungsdreieck, die Zahl bei x, und t heißt y-Achsenabschnitt, die allein stehende Zahl. Die Gerade trifft die y-Achse im Punkt $S (0 ∣ t)$ ; in einer Sachaufgabe ist t der Startwert, bei Tarif A die Grundgebühr. Die Gerade mit dem Steigungsdreieck ist $y = 2 x + 1$ mit $m = 2$ und $t = 1$ , ihr S ist (0 | 1). Bei $y = 5 - 2 x$ ist $m = - 2$ und $t = 5$ : Zur Zahl gehört ihr Vorzeichen, und die Reihenfolge der Summanden ist egal. Die Ursprungsgerade $y = a \cdot x$ ist der Fall $t = 0$ .

t verschiebt, m dreht

Ändert man t, wandert die Gerade nach oben oder unten, ohne zu kippen: Sie bleibt parallel zur alten. Ändert man m, kippt sie um den Punkt $S (0 ∣ t)$ , steiler oder flacher. Zwei Geraden mit gleichem m sind parallel; zwei mit gleichem t treffen sich auf der y-Achse. So liegen Tarif A und die Ursprungsgerade y = 0,10 · x parallel, 6 € übereinander.

Nicht verwechseln: Bei $y = 2 x + 7$ macht nicht die 7 die Gerade steil, sondern die 2. Die 7 ist nur die Höhe bei $x = 0$ . Und t ist nicht die Stelle, an der die Gerade die x-Achse trifft: $y = 2 x + 1$ trifft sie links vom Ursprung, nicht bei 1.

Die orangefarbene Gerade g startet parallel zu y = 2x + 1, 3 darunter. Ändere zuerst nur t₂: Bleibt sie parallel? Dann m₂: Ab welchem Wert ist sie es nicht mehr?

Mit m und t ist jede solche Gerade festgelegt. Zwei Fragen bleiben: Wie zeichnet man sie, und wie kommt man von einer gezeichneten Geraden zurück zu m und t?

Voraussetzungen (1)

Steigung als Änderungsrate

Klasse 8

›

Ermöglicht (4)

Geraden zeichnen und ablesen

Klasse 8

›

Geradengleichung aufstellen

Nullstelle und Schnittpunkt

Klasse 8

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welche Steigung hat die Gerade y = −3x + 7?

● −3
○ 7
○ 3

In y = m · x + t ist m die Zahl bei x, samt Vorzeichen: m = −3. Die 7 ist t, der y-Achsenabschnitt; die 3 ohne Vorzeichen übersieht, dass die Gerade fällt.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Die Gerade hat die Gleichung y = 5 − 2x. Welche Zahl ist die Steigung m?

● −2
○ 5
○ 2

Man ordnet um: y = −2x + 5. Die Zahl bei x ist −2 – die Reihenfolge der Summanden ändert die Rollen nicht. Die 5 ist t, die 2 verliert ihr Vorzeichen.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Die Gerade y = 0,5x hat den y-Achsenabschnitt t = 0.

✓ Wahr

y = 0,5x ist y = 0,5x + 0: Es steht kein Zusatzglied da, also t = 0. Die Gerade geht durch den Ursprung – die Ursprungsgerade.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

In welchem Punkt schneidet die Gerade y = −x + 4 die y-Achse?

● S(0 | 4)
○ S(4 | 0)
○ S(0 | −1)

Auf der y-Achse ist x = 0, dort ist y = t = 4: S(0 | 4). S(4 | 0) vertauscht die Koordinaten (das wäre der Schnittpunkt mit der x-Achse), S(0 | −1) nimmt die Steigung als Höhe.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Die abgebildete Gerade hat den y-Achsenabschnitt t = 2.

✓ Falsch

Die Gerade trifft die y-Achse bei −2, also t = −2. Die 2 ist die Stelle, an der sie die x-Achse trifft – das ist die Nullstelle, nicht t.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Der Punkt P(0 | 6) liegt auf der Geraden y = 2x + 6.

✓ Wahr

Für x = 0 ergibt sich y = 2 · 0 + 6 = 6. Der Punkt (0 | t) liegt immer auf der Geraden y = m · x + t.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Die Gerade g liegt parallel zu f (y = x), aber höher. Welche Gleichung hat g?

● y = x + 3
○ y = 3x
○ y = x − 3

g ist f um 3 nach oben verschoben: t = 3, die Steigung bleibt 1: y = x + 3. y = 3x wäre steiler (m statt t verändert), y = x − 3 läge unter f.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Die Gerade y = 2x + 1 ist parallel zu y = 3x + 1.

✓ Falsch

Parallel sind Geraden mit gleicher Steigung m. Hier stimmt nur t = 1 überein: Beide schneiden sich auf der y-Achse in (0 | 1).

Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Welche der drei Geraden hat die größte Steigung?

● Gerade B
○ Gerade A
○ Gerade C

B steigt am stärksten (m = 2). A (m = 0,5) und C (m = −1) sind flacher; dass C links am höchsten liegt, ist nur eine Höhe, keine Steigung.

Multiple Choice #10 20s ▶ Testen

Welche Gerade ist parallel zur Geraden f?

● Gerade A
○ Gerade B
○ Gerade C

A hat wie f die Steigung 2, ist also parallel (nur nach oben verschoben). B fällt (m = −2), C ist flacher (m = 0,5) – beide schneiden f.

Multiple Choice #11 20s ▶ Testen

Ein Förderkorb im Bergwerk startet 60 m über dem Meeresspiegel und fährt pro Sekunde 15 m tiefer: y = −15x + 60. Welcher Punkt liegt auf dieser Geraden?

● P(2 | 30)
○ P(2 | −30)
○ P(2 | 90)

y = −15 · 2 + 60 = 30: Nach 2 Sekunden ist der Korb noch 30 m über dem Meeresspiegel. Die Gerade fällt, weil er abwärts fährt – unter die x-Achse kommt sie aber erst nach x = 4, und erst ab dann sind die y-Werte negativ. Eine negative Steigung allein legt die Gerade nicht unter die x-Achse. P(2 | −30) rechnet nur −15 · 2 und vergisst die 60, P(2 | 90) das Minuszeichen.

Wahr / Falsch #12 15s ▶ Testen

Die Gerade y = −3x + 12 hat bei x = 1 einen negativen y-Wert.

✓ Falsch

y = −3 · 1 + 12 = 9, also positiv. Die Gerade fällt (m = −3), startet aber bei t = 12 und erreicht die x-Achse erst bei x = 4. Ob y negativ ist, hängt an m und t zusammen – das Minus vor dem x allein sagt nur, dass die Gerade fällt.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Gib die Steigung m der Geraden y = 2 − 6x an.

✓ Antwort: -6

Umgeordnet: y = −6x + 2. Die Zahl bei x ist m = −6, die allein stehende 2 ist t.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Wie groß ist y bei x = 0 für die Gerade y = 3 − 5x?

✓ Antwort: 3

y = 3 − 5 · 0 = 3. Setzt man x = 0 ein, bleibt nur t übrig, hier 3 – nicht die −5.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Die Gerade y = m · x + 2 soll parallel zu y = 4x − 1 sein. Welchen Wert hat m?

✓ Antwort: 4

Parallele Geraden haben dieselbe Steigung: m = 4. Das t (2 statt −1) darf sich unterscheiden.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Handytarif kostet y = 0,15x + 4,50 (x Minuten, y Euro). Wie viel Euro beträgt die Grundgebühr?

✓ Antwort: 4.5

Die Grundgebühr fällt auch ohne Minuten an, also bei x = 0: y = 4,50. Sie ist der y-Achsenabschnitt t = 4,5. Die 0,15 ist m, der Preis je Minute.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

In einem Behälter sind nach x Minuten y = 40 − 2x Liter Wasser. Wie viel Wasser war zu Beginn (x = 0) darin (in Litern)?

✓ Antwort: 40

Zu Beginn ist x = 0: y = 40 − 2 · 0 = 40 Liter. Das ist t, der Startwert; die −2 sagt, dass es pro Minute 2 Liter weniger werden.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Die Gerade y = 2x + 1 wird parallel um 3 Einheiten nach unten verschoben. Welchen y-Wert hat die neue Gerade bei x = 2?

✓ Antwort: 2

Die neue Gerade ist y = 2x + 1 − 3 = 2x − 2 (t sinkt um 3, m bleibt 2). Bei x = 2: y = 4 − 2 = 2.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Gegeben sind f: y = 2x − 1 und g: y = 2x + 3. Begründe ohne Zeichnung, wie f und g zueinander liegen, gib die Schnittpunkte beider Geraden mit der y-Achse an und berechne, um wie viel g bei jedem x höher liegt als f (Abstand in y-Richtung). Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Beide Geraden haben die Steigung m = 2, sie sind also parallel. y-Achsenschnittpunkte: S_f(0 | −1) und S_g(0 | 3). Abstand in y-Richtung: 3 − (−1) = 4 Einheiten (bei jedem x liegt g um 4 über f).

Gleiches m = 2 heißt parallel. t liest man ab: −1 und 3. Abstand 3 − (−1) = 4.