Vermehrter und verminderter Grundwert

Increased and decreased base value

Mathematik Klasse 7 16 Aufgaben
AlgebraProzent

Eine Erhöhung um p % ist der Faktor 1 + p/100, eine Senkung der Faktor 1 − p/100. Der Endwert ist Faktor mal Grundwert, und den alten Preis findet die Gleichung Faktor · x = Endwert. Der Abschnitt löst die Eingangsfrage nach dem Fahrrad und räumt aus, den Rabatt auf den Endpreis aufzuschlagen (240 € + 20 %), den Faktor −15 % als 0,15 zu schreiben und +20 % und −20 % als „null“ zu addieren (Parker und Leinhardt 1995). Er bereitet exponentielles Wachstum (Faktor hoch n) und die Zinseszinsrechnung vor.

Der Faktor

Sinkt ein Preis um 20 %, bleiben 100 % − 20 % = 80 % übrig. Der neue Preis ist 0,8 mal der alte. Die Zahl 0,8 heißt Faktor. Steigt der Preis um p %, rechnest du mit 1 + p/100, sinkt er, mit 1 − p/100. Zu +20 % gehört 1,2, zu −15 % gehört 0,85, nicht 0,15. Im Bild ist der blaue Balken das Fahrrad vor dem Rabatt, 300 €; der amberfarbene ist 300 € mal Faktor.

Verändere p zwischen −50 % und +50 %. Bei welchem Faktor kostet das Fahrrad 240 €, bei welchem 360 €?

Rückwärts zum alten Preis

Zurück zum Fahrrad: Nach 20 % Rabatt kostet es 240 €. Der alte Preis x ist der Grundwert, also und x = 300. Probe: 300 € − 20 % von 300 € = 300 € − 60 € = 240 €. Lena hat die 20 % von 240 € gerechnet. Der Rabatt bezieht sich aber auf 300 €, den Preis vor dem Rabatt. Ben hat recht. Die Gleichung braucht keinen Reglerschritt: Kostet das Fahrrad nach dem Rabatt 250 €, folgt aus mit x = 312,50 €, genau der Wert, den der Prozentstreifen nicht treffen konnte.

Erst rauf, dann runter

Ein Preis steigt um 20 % und sinkt danach um 20 %. Ist er wieder am Anfang? Nein: 100 € · 1,2 = 120 €, dann 120 € · 0,8 = 96 €. Der zweite Prozentsatz bezieht sich auf einen neuen Grundwert. Man multipliziert die Faktoren und addiert nicht die Prozente: 1,2 · 0,8 = 0,96, das sind −4 %.

Verändere p. Liegt der Endwert je über dem Start?

Eine ähnliche Falle steckt in Angaben über Prozentsätze selbst: Steigt ein Anteil von 40 % auf 50 %, ist er dann um 10 % gestiegen?

Voraussetzungen (1)

Prozentaufgaben als Gleichung
Klasse 7
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Der Preis sinkt um 15 %. Mit welchem Faktor rechnest du den neuen Preis aus?

  • ● 0,85
  • ○ 0,15
  • ○ 1,15
Es bleiben 100 % − 15 % = 85 % vom alten Preis, das ist der Faktor 0,85. 0,15 wären die 15 % selbst, und 1,15 gehört zu einer Erhöhung um 15 %.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Steigt ein Preis um 8 %, ist der neue Preis das 1,08-Fache des alten.

✓ Wahr
Zu den 100 % kommen 8 % dazu: 108 % = 1,08. Bei einem Preis von 50 € ist der neue Preis 1,08 · 50 € = 54 €.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Der Preis wächst laut Bild um 30 %. Mit welchem Faktor rechnest du den neuen Preis aus?

  • ● 1,3
  • ○ 0,3
  • ○ 1,03
Der neue Preis besteht aus 100 % + 30 % = 130 % des alten, das ist der Faktor 1,3. 0,3 wären nur die zusätzlichen 30 %, 1,03 gehört zu +3 %.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Nach 25 % Rabatt kostet eine Jacke 60 €. Welche Gleichung gehört dazu (x = Preis vor dem Rabatt)?

  • ● 0,75 · x = 60
  • ○ 0,25 · x = 60
  • ○ 1,25 · x = 60
Nach dem Rabatt bleiben 75 % des alten Preises: 0,75 · x = 60, also x = 80. 0,25 · x wären die 25 % Rabatt selbst, 1,25 · x gehört zu einem Aufschlag.
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Nach 20 % Rabatt kostet ein Rucksack 40 €. Der alte Preis ist 40 € + 20 % von 40 € = 48 €.

✓ Falsch
Falsch. Die 20 % beziehen sich auf den alten Preis, nicht auf 40 €. Richtig ist 0,8 · x = 40, also x = 50. Probe: 50 € − 10 € = 40 €.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Nach einer Erhöhung um 10 % kostet ein Buch 33 €. Welche Gleichung gehört dazu (x = alter Preis)?

  • ● 1,1 · x = 33
  • ○ 0,9 · x = 33
  • ○ 0,1 · x = 33
Der neue Preis ist 110 % des alten: 1,1 · x = 33, also x = 30. 0,9 gehört zu einer Senkung, 0,1 sind die 10 % selbst.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Ein Preis von 100 € steigt um 10 % (Bild) und sinkt danach um 10 %. Wie hoch ist der Preis am Ende?

  • ● 99 €
  • ○ 100 €
  • ○ 90 €
Erst 100 € · 1,1 = 110 €, dann 110 € · 0,9 = 99 €. Die 10 % beim Senken beziehen sich auf 110 €, nicht auf 100 €. 100 € (die Prozente „heben sich auf“) ist der typische Fehler.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Nach +50 % und dann −50 % ist der Preis wieder der Anfangspreis.

✓ Falsch
Falsch. 1,5 · 0,5 = 0,75. Bei 100 € wird der Preis zuerst 150 €, dann 75 €, also 25 % weniger als am Anfang.
Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Ein Preis steigt erst um 25 % und sinkt dann um 20 %. Mit welcher Rechnung bekommst du den Gesamtfaktor?

  • ● 1,25 · 0,8
  • ○ 1,25 · 0,2
  • ○ 1,25 − 0,2
Die Faktoren der beiden Schritte werden multipliziert: 1,25 · 0,8 = 1. 1,25 · 0,2 nimmt den Faktor 0,2 statt 0,8, und 1,25 − 0,2 zieht Prozente ab, als hätten beide denselben Grundwert.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Zu einer Senkung um 12 % gehört der Faktor ___.

✓ Antwort: 0.88
100 % − 12 % = 88 %, das ist der Faktor 0,88.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Nach 12 % Rabatt kostet ein Toaster 44 €. Der alte Preis war ___ €.

✓ Antwort: 50
0,88 · x = 44, also x = 44 : 0,88 = 50. Probe: 50 € − 12 % von 50 € = 50 € − 6 € = 44 €.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ein Preis steigt zweimal hintereinander um 20 %. Der Gesamtfaktor ist ___.

✓ Antwort: 1.44
1,2 · 1,2 = 1,44. Insgesamt sind das +44 %, nicht +40 %, weil die zweite Erhöhung vom schon erhöhten Preis ausgeht.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Eine Hose kostet 60 €. Sie wird um 15 % teurer. Wie viel Euro kostet sie danach?

✓ Antwort: 69
Der Faktor ist 1,15: 60 € · 1,15 = 69 €. Kontrolle: 15 % von 60 € sind 9 €, und 60 € + 9 € = 69 €.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Nach einer Erhöhung um 4 % verdient Frau Kaya 2 080 € im Monat. Wie viel Euro verdiente sie vorher?

✓ Antwort: 2000
Der neue Lohn ist 104 % des alten: 1,04 · x = 2 080, also x = 2 080 : 1,04 = 2 000. Probe: 2 000 € + 80 € = 2 080 €.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ein Fernseher kostet 500 €. Er wird zuerst um 20 % teurer (Bild) und dann um 20 % billiger. Wie viel Euro kostet er am Ende?

✓ Antwort: 480
500 € · 1,2 = 600 €, dann 600 € · 0,8 = 480 €. Der Endpreis liegt unter dem Anfangspreis, weil die 20 % beim Senken von 600 € gerechnet werden.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Nach einer Preissenkung von 15 % kostet ein Laptop noch 850 €. Ein Händler behauptet, der alte Preis sei 850 € + 15 % von 850 € = 977,50 € gewesen. Lege x fest, stelle eine Gleichung auf, löse sie und mache die Probe. Erkläre in einem Satz, wo der Fehler des Händlers liegt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: x = alter Preis in Euro (Grundwert). Nach der Senkung bleiben 85 %: 0,85 · x = 850 | : 0,85; x = 1000. Probe: 1000 € − 15 % von 1000 € = 1000 € − 150 € = 850 €. Antwort: Der alte Preis war 1000 €. Der Händler hat die 15 % vom neuen Preis 850 € statt vom alten Preis berechnet; der Rabatt bezieht sich aber auf den alten Preis.
Nach 15 % Rabatt bleiben 85 % des alten Preises: 0,85 · x = 850, also x = 1 000. Die 15 % beziehen sich auf den alten Preis, nicht auf 850 €.