Prozentaufgaben als Gleichung

Die Grundgleichung

Prozent heißt „von Hundert“: p % sind p/100, 20 % sind 0,2. In jeder Prozentaufgabe kommen drei Größen vor: der Grundwert G (das Ganze, 100 %), der Prozentsatz p % und der Prozentwert W (der Teil). Sie hängen so zusammen:

$$W=p\%\cdot G=\frac{p}{100}\cdot G$$

Lenas erster Schritt ist genau diese Rechnung: 20 % von 240 € sind 0,2 · 240 € = 48 €. Gerechnet ist das richtig. Ob 240 € der richtige Grundwert ist, sagt die Gleichung nicht. Im Bild ist G der alte Preis, der Streifen rechts der Rabatt W, und was links blau bleibt, kostet das Fahrrad danach.

Bei Lenas 288 € ist der Rabatt 0,2 · 288 € = 57,60 €, und es bleiben 230,40 €, nicht 240 €. Erst bei G = 300 € reicht der Rest bis zur gestrichelten Linie: 60 € Rabatt, 240 € Rest.

Der Grundwert ist gesucht

Im Laden hängt ein Schild: „Sie sparen 60 €, das sind 20 %!“ Hier ist der Grundwert unbekannt, also nennst du ihn x: $0,2\cdot x=60$. Das ist dieselbe Umformung wie 3x = 15 $\mid :3$, nur mit einem Dezimalbruch: $\mid :0,2$. Beim Teilen verschiebst du bei beiden Zahlen das Komma um eine Stelle, 60 : 0,2 = 600 : 2 = 300, also x = 300. Probe: 0,2 · 300 = 60. Das ist der alte Preis, den du am Streifen gefunden hast. Frage immer zuerst: Prozent wovon? Der Grundwert ist die Zahl, auf die sich die Prozente beziehen. Am doppelten Streifen liest du beides ab: oben die Prozent, unten die Euro.

Der Prozentsatz ist gesucht

Fragt die Aufgabe nach dem Prozentsatz, ist er die Unbekannte. Wie viel Prozent hat Lena eigentlich abgezogen? Sie nimmt 48 € von ihrem alten Preis 288 €: $x\cdot 288=48$, und mit $\mid :288$ wird x = 48 : 288 ≈ 0,167 ≈ 16,7 %. Aus dem Anteil W : G wird durch Malnehmen mit 100 der Prozentsatz. Lenas Rechnung passt also zu knapp 17 % Rabatt, nicht zu 20 %. Bei 300 € sind es 60 : 300 = 0,2 = 20 %.

Gefunden hast du die 300 € am Streifen durch Probieren, wie bei der Waage am Anfang. Hätte das Fahrrad nach dem Rabatt 250 € gekostet, trifft kein Schritt des Reglers: Bei G = 312 € bleiben 249,60 €, bei 316 € schon 252,80 €. Die Grundgleichung hilft hier nicht direkt, denn 240 € oder 250 € sind nicht 20 % des alten Preises, sondern das, was nach dem Rabatt übrig bleibt.