Exponentielles Wachstum und Abnahme

Exponential Growth and Decay

Mathematik Klasse 10 16 Aufgaben
ExponentiellFunktionenModellierenKerncurriculum

Exponentielles Wachstum und Abklingen wird durch f(x) = b·aˣ beschrieben: b ist der Anfangsbestand, a der Wachstumsfaktor pro Schritt — Zinseszins, Bakterienkulturen, Halbwertszeiten, Wertverlust. Zerfall (0 < a < 1) ist derselbe Mechanismus wie Wachstum, nur mit einem Faktor unter 1. Der zentrale Fehler ist der Zinseszins-Trugschluss, Prozentsätze addierten sich über mehrere Schritte (+10 % zweimal ergibt +21 %, nicht +20 %), weil die Faktoren multipliziert und nicht summiert werden (Confrey & Smith 1995: multiplikative statt additive Einheit). Die begriffliche Unterscheidung exponentiell/linear und die Übersetzung Prozentsatz ↔ Faktor sind vorgelagert gesichert; das Funktionsobjekt (Graph, Asymptote, Monotonie) folgt in `exponentialfunktion`.

Voraussetzungen (2)

Potenzfunktionen
Klasse 9
›
Exponentiell oder linear? Wachstum erkennen
Klasse 10
›

Ermöglicht (3)

Die Exponentialfunktion — Graph und Parameter
Klasse 10
›
Kernphysik und Atomaufbau
Klasse 10
›
Logarithmus
Klasse 10
›
Leicht
Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Ein Bakterienstamm verdoppelt sich stündlich. Zu Beginn sind 500 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 4 Stunden?

✓ Antwort: 8000
N(4) = 500 · 2⁴ = 500 · 16 = 8000.
Lückentext #2 12s ▶ Testen

Eine Abnahme um 10 % pro Jahr entspricht dem Faktor ___.

✓ Antwort: 0,9
Nach der Abnahme sind 90 % = 0,9 des Bestands übrig. Der Faktor ist 0,9, nicht 0,1.
Multiple Choice #3 15s ▶ Testen

Wo schneidet der Graph von f(x) = 4 · 0,5ˣ die y-Achse?

  • ● (0 | 4)
  • ○ (0 | 0,5)
  • ○ (0 | 2)
f(0) = 4 · 0,5⁰ = 4 · 1 = 4. Der y-Achsenabschnitt ist der Vorfaktor 4, nicht die Basis 0,5 und nicht deren Produkt.
Wahr / Falsch #4 10s ▶ Testen

Die Funktion f(x) = 7 · 0,85ˣ beschreibt eine Abnahme.

✓ Wahr
Die Basis a = 0,85 liegt zwischen 0 und 1, deshalb sinkt der Bestand in jedem Schritt — exponentielle Abnahme.
Lückentext #5 15s ▶ Testen

Ein Anfangsbestand von 1000 nimmt jährlich um 10 % ab. Der Term lautet N(t) = 1000 · ___ᵗ.

✓ Antwort: 0,9
Eine Abnahme um 10 % lässt 90 % = 0,9 übrig — der Abnahmefaktor ist 0,9.
Mittel
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Ein Kapital von 2000 € wird jährlich mit 5 % verzinst. Welcher Term beschreibt den Kontostand nach t Jahren?

  • ● 2000 · 1,05ᵗ
  • ○ 2000 + 0,05 · t
  • ○ 2000 · 0,95ᵗ
Jedes Jahr wird mit dem Faktor 1,05 multipliziert. Der lineare Term addiert nur einen festen Betrag; 0,95 wäre eine Abnahme um 5 %.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Ein Betrag von 100 € wächst zweimal hintereinander um 10 %. Auf welchen Wert steigt er?

  • ● 121 €
  • ○ 120 €
  • ○ 110 €
100 · 1,1 · 1,1 = 100 · 1,21 = 121 €. Die Faktoren multiplizieren sich; wer 120 € tippt, addiert die Prozente zu +20 %.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Ein radioaktives Präparat hat eine Halbwertszeit von 3 Tagen. Anfangs sind 800 mg vorhanden. Wie viel mg sind nach 9 Tagen noch da?

✓ Antwort: 100
9 / 3 = 3 Halbwertszeiten. 800 · (0,5)³ = 800 · 0,125 = 100 mg.
Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Der Wert eines Autos beträgt 20 000 € und sinkt jährlich um 15 %. Wie viel ist es nach 2 Jahren wert? (auf ganze Euro)

✓ Antwort: 14450
W(2) = 20 000 · 0,85² = 20 000 · 0,7225 = 14 450 €.
Multiple Choice #5 22s ▶ Testen

In welcher Zeile liegt exponentielles Wachstum vor? (A) 2, 4, 6, 8 (B) 2, 4, 8, 16 (C) 3, 6, 9, 12

  • ● Zeile B
  • ○ Zeile A
  • ○ Zeile C
In Zeile B wird jeder Wert mit dem Faktor 2 multipliziert. Zeile A wächst um konstant +2, Zeile C um +3 — beide linear.
Zahleneingabe #6 25s ▶ Testen

Eine Stadt hat 50 000 Einwohner und wächst jährlich um 2 %. Wie viele sind es nach 5 Jahren? (auf ganze Zahlen)

✓ Antwort: 55204
N(5) = 50 000 · 1,02⁵ ≈ 50 000 · 1,10408 ≈ 55 204.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Welche Beschreibung passt zum Graphen von f(x) = 3 · 2ˣ?

  • ● Steigt von links unten nach rechts oben, y-Achsenabschnitt 3
  • ○ Fällt von links oben nach rechts unten, y-Achsenabschnitt 3
  • ○ Gerade durch den Ursprung mit Steigung 6
a = 2 > 1, also steigend; f(0) = 3. Die Gerade käme heraus, wenn man 2ˣ als 2·x liest.
Zahleneingabe #8 20s ▶ Testen

Eine Bakterienkultur hat anfangs 100 Bakterien und verdreifacht sich jede Stunde. Wie viele sind es nach 3 Stunden?

✓ Antwort: 2700
N(3) = 100 · 3³ = 100 · 27 = 2700.
Multiple Choice #9 22s ▶ Testen

Ein Preis von 200 € wird zweimal hintereinander um 50 % gesenkt. Was kostet die Ware am Ende?

  • ● 50 €
  • ○ 0 €
  • ○ 100 €
200 · 0,5 · 0,5 = 200 · 0,25 = 50 €. Zwei Senkungen um 50 % ergeben nicht −100 %, weil sich die Faktoren multiplizieren.
Zahleneingabe #10 22s ▶ Testen

Wasserlinsen verdoppeln täglich ihre Fläche. Nach 20 Tagen ist der Teich voll bedeckt. Nach wie vielen Tagen war er halb bedeckt?

✓ Antwort: 19
Ein Verdopplungsschritt vor „voll" ist „halb voll" — also am Tag 19, nicht am Tag 10.
Wahr / Falsch #11 20s ▶ Testen

Wächst ein Bestand 10 Jahre lang jährlich um 10 %, ist er am Ende genau doppelt so groß.

✓ Falsch
1,1¹⁰ ≈ 2,59 — fast das 2,6-Fache. Prozente addieren sich nicht über die Jahre; die Faktoren multiplizieren sich.