Stochastische Simulation und Monte-Carlo

Stochastic simulation and Monte Carlo

Mathematik Klasse 10 16 Aufgaben

WahrscheinlichkeitSimulationMonte-CarloKerncurriculum

Ein Zufallsexperiment mit Würfel, Münze oder Rechner vielfach nachspielen liefert die relative Häufigkeit eines Ergebnisses. Mit wachsender Versuchszahl nähert sie sich der (oft unbekannten) Wahrscheinlichkeit — das empirische Gesetz der großen Zahlen; Simulationsergebnisse sind Schätzwerte, nicht exakte Werte. Falsch ist die Repräsentativitäts-Erwartung, kurze Serien müssten schon „ausgeglichen" sein oder eine Münze habe nach fünfmal Kopf ein Gedächtnis (Kahneman & Tversky 1972). Die Monte-Carlo-Methode nähert so etwa π über den Trefferanteil im einbeschriebenen Viertelkreis.

Voraussetzungen (1)

Zusammengesetzte Zufallsexperimente

Klasse 10

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Leicht

Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Beim Simulieren eines Würfels fällt in 200 Würfen 38-mal eine 6. Wie groß ist die relative Häufigkeit der 6? (Dezimalzahl)

✓ Antwort: 0.19

Relative Häufigkeit = Treffer / Versuche = 38/200 = 0,19. Sie schätzt die Wahrscheinlichkeit, ist aber selbst kein exakter Wert.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Beim simulierten Münzwurf ist nach fünfmal Kopf beim nächsten Wurf Zahl wahrscheinlicher.

✓ Falsch

Jeder Wurf ist unabhängig — P(Zahl) bleibt 1/2. Die Münze hat kein Gedächtnis (Repräsentativitäts-Heuristik).

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Eine Simulation mit 10000 Würfen schätzt die Wahrscheinlichkeit im Mittel genauer als eine mit 20 Würfen.

✓ Wahr

Nach dem empirischen Gesetz der großen Zahlen werden die Schätzwerte mit wachsender Versuchszahl im Mittel genauer — 10000 Würfe streuen weniger um die Wahrscheinlichkeit als 20.

Lückentext #4 15s ▶ Testen

Bei der Monte-Carlo-Näherung von π wirft man zufällige Punkte in ein Quadrat mit einbeschriebenem ___.

✓ Antwort: Kreis

Der Anteil der Treffer im (Viertel-)Kreis approximiert π/4; mal 4 ergibt die Näherung für π.

Zahleneingabe #5 15s ▶ Testen

In 50 simulierten Spielen gewinnt Spieler A 32-mal. Relative Häufigkeit in Prozent?

✓ Antwort: 64

32/50 = 0,64 = 64 %.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Zwei Simulationen desselben Experiments mit je 100 Würfen liefern immer genau dieselbe relative Häufigkeit.

✓ Falsch

Simulationsergebnisse schwanken zufällig; nur die Tendenz bei sehr vielen Versuchen ist stabil.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Ein Glücksrad wird 1000-mal simuliert; „Gewinn" fällt 220-mal. Bester Schätzwert für P(Gewinn)?

● 0,22
○ 0,5
○ 220

Der Schätzwert ist die relative Häufigkeit: 220/1000 = 0,22. 0,5 wäre eine unbegründete Gleichverteilungs-Annahme, 220 ist die Häufigkeit, kein Anteil.

Lückentext #8 12s ▶ Testen

Dass sich die relative Häufigkeit bei vielen Versuchen der Wahrscheinlichkeit annähert, beschreibt das Gesetz der großen ___.

✓ Antwort: Zahlen

Das (empirische) Gesetz der großen Zahlen ist die Grundlage jeder Wahrscheinlichkeitsschätzung durch Simulation.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Für einen Reißnagel, dessen Wahrscheinlichkeit man nicht berechnen kann, liefert eine Simulation mit 400 Würfen einen Schätzwert für P(Kopf).

✓ Wahr

Genau das ist der Nutzen der Simulation — wo die theoretische Wahrscheinlichkeit unbekannt ist (Reißnagel, komplexe Spiele), liefert die relative Häufigkeit aus vielen Würfen einen Schätzwert.

Mittel

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Ein fairer Würfel wird 600-mal simuliert. Welche Anzahl an Sechsen ist am plausibelsten?

● ≈ 100
○ 300
○ 600

Erwartet werden etwa 1/6 · 600 = 100 Sechsen. Die relative Häufigkeit nähert sich 1/6 an, wird aber nicht exakt. 300 wäre die Hälfte (fälschlicher „muss sich ausgleichen"-Transfer vom fairen Münzwurf), 600 verwechselt die relative Häufigkeit mit der Anzahl der Versuche.

Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Eine faire Münze wird 6-mal geworfen. Wie groß ist P(genau die Reihenfolge KKKKKZ)?

● 1/64
○ 1/6
○ 5/64

Jede feste Reihenfolge aus 6 Würfen hat dieselbe Wahrscheinlichkeit (1/2)⁶ = 1/64 — auch ZKZKKZ. „Zufälliger aussehen" oder „fast alles Kopf" ändert daran nichts (Repräsentativitäts-Heuristik). 1/6 verwechselt den ganzen Lauf mit einem Wurf, 5/64 multipliziert fälschlich die 5 Köpfe in die Wahrscheinlichkeit hinein.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Von 1000 Zufallspunkten im 1×1-Quadrat liegen 785 im Viertelkreis mit Radius 1. Welcher Näherungswert für π ergibt sich?

● 3,14
○ 0,785
○ 0,196

π ≈ 4 · (Treffer/Gesamt) = 4 · 785/1000 = 3,14. Der Trefferanteil 0,785 allein ist π/4 — der Faktor 4 fehlt dann.

Zahleneingabe #4 20s ▶ Testen

Von 500 Zufallspunkten liegen 390 im Viertelkreis. Näherung für π = 4 · 390/500 = ? (Dezimalzahl)

✓ Antwort: 3.12

4 · 390/500 = 4 · 0,78 = 3,12.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Ein Reißnagel fällt in 400 Würfen 240-mal auf den Kopf. Welche Wahrscheinlichkeit schätzt man für „Kopf"?

● 0,6
○ 0,5
○ 0,4

Beim Reißnagel kennt man die Wahrscheinlichkeit nicht theoretisch — man schätzt sie über die relative Häufigkeit: 240/400 = 0,6. Nicht einfach 0,5 („fair") annehmen.

Zahleneingabe #6 25s ▶ Testen

Eine Monte-Carlo-Schätzung nutzt 10000 Punkte, davon 7854 im Viertelkreis. Näherung für π (auf 2 Nachkommastellen)?

✓ Antwort: 3.14

4 · 7854/10000 = 4 · 0,7854 = 3,1416 ≈ 3,14.

Multiple Choice #7 15s ▶ Testen

Welche Simulation liefert vermutlich die genaueste Schätzung der Wahrscheinlichkeit?

● die mit 10000 Würfen
○ die mit 20 Würfen
○ alle gleich genau

Nach dem Gesetz der großen Zahlen wird die Schätzung mit mehr Versuchen im Mittel genauer — die Streuung um die Wahrscheinlichkeit nimmt ab.