Binomialverteilung — Formel, Erwartungswert und Varianz

Binomial Distribution — Formula, Expected Value and Variance

Mathematik Klasse 12 13 Aufgaben

WahrscheinlichkeitStochastikErwartungswertBernoulli-KetteBinomialverteilungKerncurriculum

Die Binomialverteilung gibt die Trefferzahl einer Bernoulli-Kette an: P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1−p)^(n−k), wobei der Binomialkoeffizient die möglichen Anordnungen der k Treffer zählt — ablesbar aus dem Baumdiagramm, nicht auswendig. Ihre Kennwerte sind E(X) = n·p und Var(X) = n·p·(1−p); n und p bestimmen Lage, Breite und Symmetrie des Histogramms. Vorausgesetzt sind das Bernoulli-Modell und der Erwartungswert; die Übersetzung von „mindestens/höchstens" in kumulierte Wahrscheinlichkeiten folgt im Anschlusstopic.

Voraussetzungen (3)

Bernoulli-Kette — das Modell erkennen

Klasse 12

›

Zufallsgröße und Erwartungswert

Ermöglicht (2)

Hypothesentest

Klasse 13

›

Kumulierte Binomialverteilung — mindestens und höchstens

Klasse 12

›

Leicht

Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Eine Münze wird 10-mal geworfen. X zählt die Anzahl "Kopf". Berechne den Erwartungswert E(X) = n · p.

✓ Antwort: 5

Bei der Binomialverteilung gilt E(X) = n · p = 10 · 0,5 = 5. Das bedeutet: auf lange Sicht im Schnitt 5 Köpfe – nicht, dass bei jedem Durchgang genau 5 fallen.

Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Bei einem Bernoulli-Experiment ist p = 0,2 und n = 50. Berechne den Erwartungswert der Trefferzahl.

✓ Antwort: 10

E(X) = n · p = 50 · 0,2 = 10.

Lückentext #3 10s ▶ Testen

Für eine binomialverteilte Zufallsgröße gilt E(X) = n · ___.

✓ Antwort: p

Der Erwartungswert der Trefferzahl ist Anzahl der Versuche mal Trefferwahrscheinlichkeit.

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Für p = 0,5 ist das Histogramm der Binomialverteilung symmetrisch.

✓ Wahr

Richtig. Treffer und Nieten sind dann gleichberechtigt — P(X = k) = P(X = n − k). Für p ≠ 0,5 wird das Histogramm schief.

Mittel

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Mit welcher Formel berechnet man die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer bei einer Binomialverteilung B(n; p)?

● P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n−k)
○ P(X = k) = p^k · (1 − p)^k
○ P(X = k) = n · p^k
○ P(X = k) = k/n

Die Bernoulli-Formel: Der Binomialkoeffizient C(n, k) zählt die Anordnungen der k Treffer, p^k die Treffer, (1 − p)^(n−k) die Nieten.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Bei n = 4 Versuchen sollen genau k = 2 Treffer (T) fallen, z. B. TTNN oder TNTN. Wie viele solche Reihenfolgen gibt es — welchen Wert hat also C(4, 2) in der Bernoulli-Formel?

○ 4
● 6
○ 16

Die Reihenfolgen sind TTNN, TNTN, TNNT, NTTN, NTNT, NNTT — also 6 = C(4, 2). Jede einzelne hat die Wahrscheinlichkeit p²·(1−p)²; der Binomialkoeffizient zählt, wie viele davon es gibt, deshalb wird mit ihm multipliziert. 4 ist nur die Zahl der Versuche, 16 = 2⁴ die Zahl aller möglichen Reihenfolgen.

Wahr / Falsch #3 25s ▶ Testen

Bei einer Binomialverteilung ist der Erwartungswert μ = n · p immer der Wert mit der größten Wahrscheinlichkeit.

✓ Falsch

Falsch. Der wahrscheinlichste Wert (Modalwert) liegt zwar nahe bei n · p, muss aber nicht damit übereinstimmen. Der Erwartungswert beschreibt den langfristigen Durchschnitt, nicht den häufigsten Einzelausgang.

Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

X ist binomialverteilt mit n = 3 und p = 0,5. Wie groß ist P(X = 2)?

● 0,375
○ 0,25
○ 0,125
○ 0,5

P(X = 2) = C(3, 2) · 0,5² · 0,5¹ = 3 · 0,125 = 0,375.

Zahleneingabe #5 25s ▶ Testen

X ist binomialverteilt mit n = 100 und p = 0,5. Berechne die Varianz Var(X) = n · p · (1 − p).

✓ Antwort: 25

Var(X) = n · p · (1 − p) = 100 · 0,5 · 0,5 = 25. Die Standardabweichung ist σ = √25 = 5.

Lückentext #6 25s ▶ Testen

X ist binomialverteilt mit n = 100 und p = 0,9. Die Standardabweichung ist σ = ___.

✓ Antwort: 3

Var(X) = 100 · 0,9 · 0,1 = 9, also σ = √9 = 3.

Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Was passiert mit dem Histogramm der Binomialverteilung, wenn n bei festem p = 0,5 größer wird?

● Es wird breiter und flacher, und das Maximum wandert mit n · p nach rechts.
○ Es wird schmaler und höher.
○ Es ändert sich nicht.
○ Alle Werte werden gleich wahrscheinlich.

Erwartungswert n·p und Standardabweichung √(n·p·(1−p)) wachsen mit n — die Verteilung rückt nach rechts und streut absolut stärker.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Verdoppelt man n bei festem p, so verdoppelt sich der Erwartungswert n · p.

✓ Wahr

Richtig — E(X) = n · p ist proportional zu n. Die Standardabweichung wächst dagegen nur mit dem Faktor √2.

Schwer

Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Ein Test besteht aus 4 Multiple-Choice-Fragen mit je 4 Antworten (Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,25 beim Raten). Wie groß ist P(X = 0), also kein Treffer? Gib das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen an.

✓ Antwort: 0.32

P(X = 0) = C(4, 0) · 0,25^0 · 0,75^4 = 1 · 1 · 0,3164… ≈ 0,32.