Wendestellen und Krümmung

Inflection Points and Curvature

Mathematik Klasse 11 22 Aufgaben
AnalysisWendepunkteKrümmungNewtonKerncurriculum

Krümmung ist das Monotonieverhalten von f′: linksgekrümmt heißt f′ steigt, rechtsgekrümmt heißt f′ fällt. Eine Wendestelle liegt dort, wo f″ das Vorzeichen wechselt — dasselbe Denkmuster wie bei Extremstellen, nur eine Ableitungsstufe höher. Zu trennen ist f′(x₀) = 0 von f″(x₀) = 0, und der Schluss „f″ = 0, also Wendestelle" ist falsch (x⁴ hat bei 0 keine Wendestelle). Das Newton-Verfahren nähert Nullstellen iterativ über Tangenten.

Voraussetzungen (1)

Extremstellen und Monotonie
Klasse 11
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Leicht
Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Was kennzeichnet eine Wendestelle x₀ einer Funktion?

  • ● Das Krümmungsverhalten des Graphen wechselt (von links- nach rechtsgekrümmt oder umgekehrt).
  • ○ Die Funktion hat dort ein Extremum.
  • ○ Die Ableitung f'(x₀) ist maximal.
  • ○ Die Funktion schneidet die x-Achse.
An einer Wendestelle ändert sich das Krümmungsverhalten. Dort ist die Steigung (f') extremal — die Funktion ändert am stärksten ihre Richtung.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Die notwendige Bedingung für eine Wendestelle ist f''(x₀) = 0.

✓ Wahr
Richtig. Damit ein Krümmungswechsel stattfindet, muss f''(x₀) = 0 gelten. Allerdings ist dies nur notwendig, nicht hinreichend.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

f(x) = x³ − 3x² + 2x. Bestimme die x-Koordinate der Wendestelle.

✓ Antwort: 1
f'(x) = 3x²−6x+2; f''(x) = 6x−6 = 0 → x = 1. f'''(x) = 6 ≠ 0, also ist x = 1 tatsächlich eine Wendestelle.
Lückentext #4 10s ▶ Testen

Linkskrümmung (konvex nach unten) bedeutet f''(x) ___ 0.

✓ Antwort: >
Bei Linkskrümmung liegt der Graph oberhalb jeder Tangente und f'' > 0. Bei Rechtskrümmung gilt f'' < 0.
Lückentext #5 15s ▶ Testen

Im Sachkontext beschreibt eine Wendestelle den Zeitpunkt des größten ___.

✓ Antwort: Wachstums
Wenn f(t) einen Bestand modelliert, ist die Wendestelle der Zeitpunkt, an dem die Änderungsrate (das Wachstum) am größten ist.
Multiple Choice #6 15s ▶ Testen

Beim Newton-Verfahren zur Nullstellenberechnung lautet die Iterationsformel:

  • ● x_{n+1} = x_n − f(x_n)/f'(x_n)
  • ○ x_{n+1} = x_n + f(x_n)/f'(x_n)
  • ○ x_{n+1} = x_n − f'(x_n)/f(x_n)
  • ○ x_{n+1} = f(x_n) · f'(x_n)
Das Newton-Verfahren folgt der Tangente vom Punkt (x_n, f(x_n)) bis zur x-Achse und nimmt diesen Schnittpunkt als nächste Näherung.
Zahleneingabe #7 20s ▶ Testen

f(x) = 2x³ − 6x. Bestimme den y-Wert der Wendestelle.

✓ Antwort: 0
f''(x) = 12x = 0 → x = 0. f(0) = 0. Also liegt die Wendestelle bei (0|0).
Lückentext #8 15s ▶ Testen

f(x) = x³ − 12x + 1. Die zweite Ableitung ist f''(x) = ___.

✓ Antwort: 6x
f'(x) = 3x²−12; f''(x) = 6x.
Multiple Choice #9 15s ▶ Testen

Kurvendiskussion von f(x) = x³ − 3x. In welcher Reihenfolge analysiert man üblicherweise?

  • ● Definitionsbereich → Symmetrie → Nullstellen → Extrema → Wendepunkte → Graph
  • ○ Graph → Nullstellen → Extrema
  • ○ Extrema → Nullstellen → Graph
  • ○ Symmetrie → Graph → Berechnung
Eine systematische Kurvendiskussion beginnt mit dem Definitionsbereich, prüft Symmetrie, bestimmt Nullstellen, Extrema, Wendepunkte und zeichnet dann den Graphen.
Lückentext #10 15s ▶ Testen

Bei einer vollständigen Kurvendiskussion prüft man das Fernverhalten: Für f(x) = −2x³ + x gilt lim(x→+∞) f(x) = ___.

✓ Antwort: −∞
Der führende Term −2x³ dominiert. Da −2 < 0 und der Grad ungerade ist, gilt f(x) → −∞ für x → +∞.
Mittel
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

An der Wendestelle einer Funktion ist die lokale Änderungsrate (die Steigung):

  • ● extremal (größte oder kleinste Steigung in der Umgebung)
  • ○ gleich null
  • ○ gleich der mittleren Änderungsrate
  • ○ nicht definiert
An einer Wendestelle hat f' ein Extremum, d. h., die Steigung des Graphen ist dort maximal oder minimal (stärkster Anstieg oder stärkster Abfall).
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

f(x) = x⁴ − 6x². Wie viele Wendestellen hat f?

✓ Antwort: 2
f'(x) = 4x³−12x; f''(x) = 12x²−12 = 12(x²−1) = 0 → x = ±1. f'''(x) = 24x. f'''(1) = 24 ≠ 0, f'''(−1) = −24 ≠ 0. Beide sind Wendestellen.
Wahr / Falsch #3 20s ▶ Testen

f(x) = x⁴. Die Stelle x = 0 ist eine Wendestelle.

✓ Falsch
Falsch. f''(x) = 12x², f''(0) = 0. Aber f''(x) ≥ 0 für alle x — es gibt keinen Vorzeichenwechsel von f''. Also keine Wendestelle bei x = 0.
Zahleneingabe #4 20s ▶ Testen

Newton-Verfahren für f(x) = x² − 2, Startwert x₀ = 1. Berechne x₁.

✓ Antwort: 1.5
f(1) = 1−2 = −1; f'(x) = 2x, f'(1) = 2. x₁ = 1 − (−1)/2 = 1 + 0,5 = 1,5.
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Das Newton-Verfahren konvergiert immer gegen eine Nullstelle, unabhängig vom Startwert.

✓ Falsch
Falsch. Bei ungünstigem Startwert kann das Verfahren divergieren oder zwischen Werten hin- und herspringen. Der Startwert muss nahe genug an der Nullstelle liegen.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Was ist der Vorteil des Newton-Verfahrens gegenüber systematischem Ausprobieren?

  • ● Es konvergiert meist sehr schnell (quadratische Konvergenz).
  • ○ Es findet immer alle Nullstellen.
  • ○ Es benötigt keine Ableitung.
  • ○ Es funktioniert nur bei linearen Funktionen.
Das Newton-Verfahren verdoppelt bei jedem Schritt ungefähr die Anzahl korrekter Dezimalstellen (quadratische Konvergenz). Es ist damit deutlich schneller als z. B. Intervallhalbierung.
Zahleneingabe #7 25s ▶ Testen

Newton-Verfahren für f(x) = x³ − 2, Startwert x₀ = 1. Berechne x₁ als Dezimalzahl auf 2 Nachkommastellen.

✓ Antwort: 1.33
f(1) = −1; f'(x) = 3x², f'(1) = 3. x₁ = 1 − (−1)/3 = 1 + 1/3 = 4/3 ≈ 1,33.
Zahleneingabe #8 35s ▶ Testen

f(x) = x⁴ − 8x² + 16. Wie viele Wendestellen hat f?

✓ Antwort: 2
f'(x) = 4x³ − 16x. f''(x) = 12x² − 16 = 0 → x² = 4/3 → x = ±2/√3 ≈ ±1,15. f'''(x) = 24x. f'''(±2/√3) ≠ 0 → zwei Wendestellen.
Zahleneingabe #9 20s ▶ Testen

f(x) = x³ − 6x² + 9x. Bestimme die x-Koordinate der Wendestelle.

✓ Antwort: 2
f'(x) = 3x² − 12x + 9. f''(x) = 6x − 12 = 0 → x = 2. f'''(2) = 6 ≠ 0 → Wendestelle bei x = 2.
Multiple Choice #10 20s ▶ Testen

f(x) = x³ − 3x. Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Welche Eigenschaft folgt daraus?

  • ● f(−x) = −f(x) für alle x.
  • ○ f(−x) = f(x) für alle x.
  • ○ f hat keine Nullstellen.
  • ○ Die Wendestelle liegt bei x = 1.
Punktsymmetrie zum Ursprung bedeutet f(−x) = −f(x). Probe: f(−x) = −x³ + 3x = −(x³ − 3x) = −f(x). ✓
Wahr / Falsch #11 15s ▶ Testen

An einer Wendestelle hat die Tangente die größte oder kleinste Steigung in der Umgebung.

✓ Wahr
Richtig. An der Wendestelle hat f' ein Extremum, d.h. die Steigung ist lokal maximal oder minimal.
Schwer
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

f(x) = x³ − 3x² + 3x − 1 = (x−1)³. Was liegt bei x = 1 vor?

  • ○ ein lokales Minimum
  • ● ein Sattelpunkt, der zugleich Nullstelle ist
  • ○ ein Sattelpunkt, aber keine Nullstelle
f'(x) = 3(x−1)², f'(1) = 0, aber ohne Vorzeichenwechsel – kein Extremum. f''(x) = 6(x−1), f''(1) = 0, f'''(1) = 6 ≠ 0 → Wendestelle mit waagrechter Tangente (Sattelpunkt). Außerdem f(1) = 0 → zugleich Nullstelle.