Volumen zusammengesetzter Körper

Volume of Composite Shapes

Mathematik Klasse 6 17 Aufgaben
GeometrieVolumen

Der Rauminhalt eines aus mehreren Quadern zusammengesetzten Körpers ist die Summe der Teilvolumina: Man zerlegt ihn in einfache Quader, berechnet jedes mit V = l · b · h und addiert. Bei einer Aussparung rechnet man umgekehrt und zieht vom umschließenden Quader das fehlende Stück ab (Ergänzungsmethode). Das Volumen hängt nur von der Anzahl der Einheitswürfel ab, nicht von der Form. Die Einheiten hängen zusammen: 1 dm³ = 1 Liter = 1000 cm³.

Voraussetzungen (1)

Volumen von Quadern
Klasse 6
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Ein Winkel-Körper besteht aus zwei Quadern: 3 cm × 2 cm × 2 cm und 4 cm × 2 cm × 1 cm. Welche Rechnung ergibt sein Volumen?

  • ● 3·2·2 + 4·2·1
  • ○ (3+4) · (2+2) · (2+1)
  • ○ 3·2·2 · 4·2·1
Zerlegen und die Teilvolumina addieren — 12 + 8 = 20 cm³. Die Kantenlängen der Teile darf man nicht zu einem großen Quader zusammenzählen, und Volumina werden addiert, nicht multipliziert.
Wahr / Falsch #2 18s ▶ Testen

Ein L-Körper lässt sich zu einem großen Quader mit 100 cm³ ergänzen; das dafür ergänzte Eckstück misst 30 cm³. Vera rechnet: V = 100 - 30 = 70 cm³. Ist ihr Weg richtig?

✓ Wahr
Ja! Das ist die Ergänzungsmethode: erst zum großen Quader auffüllen, dann das ergänzte Stück wieder abziehen.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Ein Körper aus 24 Einheitswürfeln (je 1 cm³) hat immer das Volumen 24 cm³, egal wie die Würfel angeordnet sind.

✓ Wahr
Richtig! Das Volumen hängt nur von der Anzahl der Einheitswürfel ab, nicht von der Form.
Zahleneingabe #4 15s ▶ Testen

Drei gleiche Quader (je 5 cm × 3 cm × 2 cm) werden nebeneinander gelegt. Wie groß ist das Gesamtvolumen in cm³?

✓ Antwort: 90
V_einzeln = 5·3·2 = 30 cm³. V_gesamt = 3·30 = 90 cm³.
Lückentext #5 15s ▶ Testen

Ein zusammengesetzter Körper hat das Volumen 4500 cm³. In Litern sind das ___ L.

✓ Antwort: 4,5
4500 cm³ = 4500 mL = 4,5 L (da 1000 cm³ = 1 L).
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein L-förmiger Körper besteht aus zwei Quadern: Quader A (6 cm × 4 cm × 3 cm) und Quader B (6 cm × 2 cm × 5 cm). Berechne das Gesamtvolumen in cm³.

✓ Antwort: 132
V_A = 6 · 4 · 3 = 72 cm³. V_B = 6 · 2 · 5 = 60 cm³. V_gesamt = 72 + 60 = 132 cm³.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein T-förmiger Körper: oberer Quader 10 cm × 2 cm × 3 cm, unterer Quader 4 cm × 2 cm × 5 cm. Gesamtvolumen in cm³?

✓ Antwort: 100
V_oben = 10 · 2 · 3 = 60 cm³. V_unten = 4 · 2 · 5 = 40 cm³. V_gesamt = 60 + 40 = 100 cm³.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Aus einem Quader (10 cm × 8 cm × 6 cm) wird ein kleinerer Quader (4 cm × 3 cm × 6 cm) herausgeschnitten. Wie groß ist das verbleibende Volumen in cm³?

✓ Antwort: 408
V_groß = 10 · 8 · 6 = 480 cm³. V_klein = 4 · 3 · 6 = 72 cm³. V_rest = 480 - 72 = 408 cm³.
Lückentext #4 20s ▶ Testen

Ein quaderförmiges Schwimmbecken (25 m × 10 m × 2 m) hat am Rand einen 1 m breiten Steg, der 0,5 m hoch ist und das Becken an einer Längsseite begleitet (25 m × 1 m × 0,5 m). Das Volumen des Stegs beträgt ___ m³.

✓ Antwort: 12,5
V_Steg = 25 · 1 · 0,5 = 12,5 m³.
Zahleneingabe #5 35s ▶ Testen

Ein Treppenförmiger Körper besteht aus 3 übereinander gestapelten Quadern: unten 6 cm × 4 cm × 2 cm, Mitte 4 cm × 4 cm × 2 cm, oben 2 cm × 4 cm × 2 cm. Gesamtvolumen in cm³?

✓ Antwort: 96
V_unten = 6·4·2 = 48 cm³. V_Mitte = 4·4·2 = 32 cm³. V_oben = 2·4·2 = 16 cm³. V = 48+32+16 = 96 cm³.
Zahleneingabe #6 25s ▶ Testen

Schätze das Volumen eines Schuhkartons (30 cm × 18 cm × 12 cm) in Litern.

✓ Antwort: 6.48
V = 30 · 18 · 12 = 6480 cm³ = 6,48 dm³ = 6,48 Liter.
Lückentext #7 30s ▶ Testen

Ein Sockel besteht aus einem großen Quader (20 cm × 20 cm × 5 cm) mit einem kleinen Quader (10 cm × 10 cm × 8 cm) darauf. Das Gesamtvolumen ist ___ cm³.

✓ Antwort: 2800
V_unten = 20·20·5 = 2000 cm³. V_oben = 10·10·8 = 800 cm³. V = 2000 + 800 = 2800 cm³.
Zahleneingabe #8 25s ▶ Testen

Ein quaderförmiger Raum (5 m × 4 m × 3 m) hat einen eingebauten Schrank (2 m × 1 m × 3 m). Wie viel freier Raum (in m³) bleibt?

✓ Antwort: 54
V_Raum = 5·4·3 = 60 m³. V_Schrank = 2·1·3 = 6 m³. V_frei = 60 - 6 = 54 m³.
Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Du willst schätzen, wie viel in eine Tasse passt — ohne Messbecher, nur mit dem Lineal. Was machst du?

  • ● Höhe und Breite innen messen und die Tasse wie einen Quader mit diesen Maßen rechnen
  • ○ die Tasse wiegen und das Gewicht in Liter umrechnen
  • ○ die Außenfläche der Tasse ausmessen
Man nähert die Tasse durch einen einfachen Körper an und rechnet dessen Volumen als Schätzwert. Das Gewicht der leeren Tasse und ihre Außenfläche sagen nichts über den Rauminhalt.
Wahr / Falsch #10 25s ▶ Testen

Ein Stufenkörper besteht aus zwei Quadern (4 cm × 4 cm × 2 cm und 2 cm × 4 cm × 2 cm). Mia rechnet: V = (4·4·2) + (2·4·2) = 32 + 16 = 48 cm³. Stimmt das?

✓ Wahr
Richtig! Man zerlegt den Körper in die beiden Quader, rechnet jedes Teilvolumen einzeln und addiert: 32 + 16 = 48 cm³.
Schwer
Multiple Choice #1 40s ▶ Testen

Ein Raum hat die Form eines L (Grundfläche). Längs: 8 m × 3 m, quer: 5 m × 3 m (davon 3 m × 3 m Überlappung). Die Raumhöhe ist 2,5 m. Welches Volumen hat der Raum?

  • ● 75 m³
  • ○ 97,5 m³
  • ○ 60 m³
  • ○ 82,5 m³
Grundfläche: 8·3 + 5·3 - 3·3 = 24 + 15 - 9 = 30 m². Volumen: 30 · 2,5 = 75 m³.
Multiple Choice #2 35s ▶ Testen

Ein Sandkasten ist außen 150 cm × 120 cm × 25 cm. Er soll randvoll mit Sand gefüllt werden. Wie viel Liter Sand passen hinein?

  • ● 450 Liter
  • ○ 45 Liter
  • ○ 4500 Liter
  • ○ 4,5 Liter
V = 150 · 120 · 25 = 450000 cm³. 450000 cm³ ÷ 1000 = 450 Liter (da 1000 cm³ = 1 L).