Drei symmetrische Formen und Pythagoras-Spezialfall

Three Symmetric Forms and the Pythagorean Special Case

Mathematik Klasse 9

GeometrieTrigonometrieKosinussatzPythagoras

Welche Ecke in der Herleitung die Spitze spielt, ist reine Bezeichnung — zyklisches Vertauschen liefert alle drei Formen des Kosinussatzes. Bei einem rechten Winkel verschwindet der Korrekturterm und übrig bleibt der Satz des Pythagoras. Erst damit ist der Satz anwendbar: die Anwendung wählt die Form, die den gegebenen Winkel enthält.

Die Herleitung im letzten Schritt nutzt nur, dass einer der Eckpunkte die Spitze ist und die anderen beiden die Grundseite bilden. Welcher Punkt diese Rolle spielt, ist Konvention — durch zyklisches Vertauschen der Bezeichnungen erhalten wir alle drei Formen:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot cos α$ $b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cdot cos β$ $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cdot cos γ$

Welche Form du wählst, hängt davon ab, welcher Winkel und welche zwei anliegenden Seiten du kennst — links steht immer das Quadrat der Seite, die diesem Winkel gegenüberliegt.

Spezialfall $γ = 90°$ : dann ist $cos γ = 0$ , der Korrekturterm verschwindet, und die letzte Form wird zu:

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$

Das ist der Satz des Pythagoras. Der Kosinussatz enthält ihn also als Spezialfall des rechtwinkligen Dreiecks — und liefert für jeden anderen Winkel den passenden Korrekturterm.

Probe mit dem 3-4-5-Dreieck (rechtwinklig bei $C$ , also $γ = 90°$ , $a = 4$ , $b = 3$ , $c = 5$ ):