Gleichsetzen ergibt die erste Sinussatz-Form

Equating Gives the First Sine-Law Form

Mathematik Klasse 9

GeometrieTrigonometrieSinussatz

Weil beide Ausdrücke dieselbe Höhe beschreiben, dürfen sie gleichgesetzt werden: a · sin β = b · sin α, umgestellt a/sin α = b/sin β. Das ist die erste Form des Sinussatzes. Der nächste Schritt hängt über eine zweite Höhe das dritte Verhältnis an.

Beide Darstellungen der Höhe sind derselbe Wert — nämlich die einzige Strecke $h_{c}$ . Gleichsetzen ergibt also:

$a \cdot sin β = b \cdot sin α$

Beide Seiten durch $sin α \cdot sin β$ teilen:

$\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β}$

Das ist die erste Form des Sinussatzes: Seite und Sinus des gegenüberliegenden Winkels stehen im gleichen Verhältnis. Für unser Dreieck:

$\frac{a}{sin α} = \frac{8 , 1}{sin 70°} \approx \frac{8 , 1}{0 , 940} \approx 8, 62$ $\frac{b}{sin β} = \frac{7 , 2}{sin 56°} \approx \frac{7 , 2}{0 , 829} \approx 8, 68$