Das dritte Verhältnis

The Third Ratio

Mathematik Klasse 9

GeometrieTrigonometrieSinussatz

Dieselbe Herleitung an der Höhe h_a liefert b/sin β = c/sin γ und damit die vollständige Kette a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Der Satz steht jetzt in der Form, in der ihn die Anwendungen benutzen; der gemeinsame Wert ist nebenbei der Umkreisdurchmesser 2R.

Wir können dieselbe Herleitung mit einer anderen Höhe wiederholen. Fällen wir das Lot von A auf die gegenüberliegende Seite a, entsteht die Höhe $h_{a}$ . Mit derselben Sinus-Überlegung in den neuen Teildreiecken folgt:

$b \cdot sin γ = c \cdot sin β ⟺ \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ}$

Damit haben wir das dritte Verhältnis. Zusammen mit der ersten Form ergibt das den vollständigen Sinussatz:

$\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ}$

Für unser Dreieck:

$\frac{c}{sin γ} = \frac{7 , 0}{sin 54°} \approx \frac{7 , 0}{0 , 809} \approx 8, 65$

Alle drei Quotienten liefern denselben Wert $\approx 8, 6$ — geometrisch ist das übrigens der Durchmesser $2 R$ des Umkreises.

Hier steht die Höhe

h_{a}

auf

a

. Bilde

c : sin γ

aus der Anzeige: Passt der Wert zu den beiden anderen Quotienten?

Voraussetzungen (1)

Gleichsetzen ergibt die erste Sinussatz-Form

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Ermöglicht (1)

Anwendung des Sinussatzes

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