Höhe aus der zweiten Seite ausdrücken

Express the Height Using the Second Side

Mathematik Klasse 9 4 Aufgaben

GeometrieTrigonometrieSinussatz

Dieselbe Höhe, diesmal im linken Teildreieck gelesen: h = b · sin α. Damit stehen zwei Ausdrücke für ein und dieselbe Strecke nebeneinander. Der nächste Schritt setzt sie gleich — und hat den Sinussatz.

Dieselbe Überlegung im linken Teildreieck $A F C$ : jetzt ist b die Hypotenuse und $h_{c}$ die Gegenkathete zum Winkel α.

$sin α = \frac{h _{c}}{b} ⟺ h_{c} = b \cdot sin α$

Mit $b \approx 7, 2$ und $α \approx 70°$ :

$h_{c} = 7, 2 \cdot sin 70° \approx 7, 2 \cdot 0, 940 \approx 6, 8$

Beide Teildreiecke teilen sich dieselbe Höhe — also liefern beide Formeln denselben Wert $h_{c} \approx 6, 7$ (die kleine Abweichung kommt vom Runden: genau sind $b \approx 7, 15$ und $α \approx 69, 5°$ ).

Bewege den Schieberegler für

α

— beobachte, wie

h_{c} = b \cdot sin α

reagiert.

Voraussetzungen (1)

Herleitung des Sinussatzes

Klasse 9

›

Ermöglicht (1)

Gleichsetzen ergibt die erste Sinussatz-Form

Klasse 9

›

Leicht

Multiple Choice #1 30s ▶ Testen

Die Höhe h_c geht von C auf die Seite c. Welcher Ausdruck gibt sie im linken Teildreieck bei A an?

● b · sin α
○ b · cos α
○ c · sin α

Im linken Teildreieck ist b die Hypotenuse und h_c die Gegenkathete von α, also h_c = b · sin α. Mit dem Kosinus bekäme man das Stück auf der Grundseite.

Mittel

Lückentext #1 20s ▶ Testen

Ergänze den Winkel: h_c = b · sin ___

✓ Antwort: α

h_c = b · sin α — b und α liegen im linken Teildreieck bei A. Von der anderen Seite gelesen ist dieselbe Höhe a · sin β.

Schwer

Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Im linken rechtwinkligen Teildreieck ist b = 6 cm die Hypotenuse und α = 50° der Winkel an A. Berechne h_c (in cm, auf 0,1 cm). (sin 50° ≈ 0,766)

✓ Antwort: 4.6

h_c ist die Gegenkathete zu α, b die Hypotenuse. h_c = b · sin α = 6 · 0,766 ≈ 4,6 cm.

Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Die Höhe h_c ist 4 cm lang, die Seite b misst 8 cm. Wie groß ist der Winkel α (in Grad)?

✓ Antwort: 30

sin α = h_c/b = 4/8 = 0,5, also α = 30°. Die Gleichung h_c = b · sin α lässt sich in beide Richtungen benutzen.