Höhe im allgemeinen Dreieck

Height in a General Triangle

Mathematik Klasse 9 8 Aufgaben
GeometrieTrigonometrieDreieckshöhe

Das Kind fällt im allgemeinen Dreieck das Lot von C auf die Gerade AB und zerlegt es so in zwei rechtwinklige Teildreiecke, in denen Sinus und Kosinus wieder gelten. Was der Kurs daran abliest — die Teilstrecken p + q = c, die der Fußpunkt F abschneidet, und h_c = b · sin α = a · sin β —, folgt erst später: p und q in §3, die beiden Höhenformeln in §8 und §9. Die Items räumen das von Gutiérrez & Jaime (1999) beschriebene Prototyp-Bild der Höhe aus — „senkrecht nach unten, immer innerhalb des Dreiecks" (Hershkowitz 1989) —, indem sie die Höhe auf jede Seite, beim stumpfen Winkel außerhalb und beim rechten Winkel als Kathete zeigen. Diese Zerlegung ist der Ausgangspunkt, aus dem der Kurs Kosinussatz, Sinussatz und die Flächenformel A = ½ · b · c · sin α herleitet.

Ein allgemeines Dreieck ist nicht rechtwinklig — die trigonometrischen Verhältnisse , und lassen sich nicht direkt anwenden. Die einfachste Hilfskonstruktion: eine Höhe.

Fällen wir das Lot vom Eckpunkt C senkrecht auf die gegenüberliegende Seite c (die Strecke ), entsteht der Höhenfußpunkt . Die Strecke ist die Höhe .

Für unser Beispieldreieck mit , und zeigt das Widget . Warum genau dieser Wert herauskommt, klärt sich in den nächsten Schritten — aus der Höhe folgt alles Weitere.

Bewege den Schieberegler — beobachte, wie sich die Höhe und der Fußpunkt mitbewegen.

Voraussetzungen (1)

Der Sinus
Klasse 9
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Leicht
Wahr / Falsch #1 15s ▶ Testen

Liegt der Höhenfußpunkt F auf der Seite c, teilt die Höhe hc das Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke.

✓ Wahr
Richtig. Die Höhe steht per Definition senkrecht auf der gegenüberliegenden Seite, sodass in beiden Teildreiecken ein rechter Winkel entsteht. Ist der Winkel bei A oder B stumpf, liegt F außerhalb von c, und es entsteht keine solche Zerlegung.
Multiple Choice #2 15s ▶ Testen

In einem Dreieck ABC wird die Höhe hc vom Eckpunkt C auf die Seite c gefällt. Welche Aussage ist korrekt?

  • ○ hc ist parallel zu c
  • ● hc steht senkrecht auf c
  • ○ hc halbiert die Seite c
  • ○ hc ist gleich lang wie c
Die Höhe ist per Definition die Strecke vom Eckpunkt senkrecht zur gegenüberliegenden Seite.
Multiple Choice #3 15s ▶ Testen

Von welchem Eckpunkt aus wird die Höhe h_a auf die Seite a gefällt?

  • ● A
  • ○ B
  • ○ C
h_a steht senkrecht auf a. Die Seite a liegt dem Eckpunkt A gegenüber, also kommt die Höhe von A. B und C sind die Endpunkte von a selbst.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

In einem Dreieck ABC ist der Winkel bei A gleich 115°. Die Höhe h_c wird von C auf die Gerade AB gefällt. Wo liegt ihr Fußpunkt F?

  • ● Außerhalb der Strecke AB, jenseits von A
  • ○ Innerhalb der Strecke AB
  • ○ Genau auf dem Punkt A
Bei einem stumpfen Winkel an A rutscht das Lot von C über A hinaus. Die Höhe steht dann außerhalb des Dreiecks — sie bleibt aber die Höhe, und die Rechnung h_c = b · sin α ändert sich nicht.
Wahr / Falsch #5 20s ▶ Testen

Ist ein Dreieck bei B rechtwinklig (β = 90°), so fällt die Höhe h_c mit der Seite a zusammen.

✓ Wahr
Bei β = 90° steht die Seite a = BC schon senkrecht auf c = AB. Das Lot von C trifft AB genau in B, also ist h_c = a und F = B.
Mittel
Lückentext #1 15s ▶ Testen

Der Höhenfußpunkt F teilt die Grundseite in die Stücke p und q. Ergänze: p + q = ___

✓ Antwort: c
p und q liegen lückenlos nebeneinander auf der Grundseite c und ergeben sie zusammen. Genau diese Beziehung wird im Kosinussatz eingesetzt.
Schwer
KI-bewertete Rechnung #1 240s ▶ Testen

Zeichne ein spitzwinkliges Dreieck ABC mit der Grundseite c = AB. Fälle die Höhe h_c von C auf c, benenne den Fußpunkt F und die beiden Teilstücke p = AF und q = FB. Schreibe für beide rechtwinkligen Teildreiecke die Gleichung des Satzes von Pythagoras auf. Schreibe deine Lösung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Linkes Teildreieck AFC: b² = p² + h_c². Rechtes Teildreieck BFC: a² = q² + h_c². Dazu p + q = c.
Diese Zerlegung ist der ganze Trick des Kapitels — beide Sätze, Kosinussatz und Sinussatz, entstehen aus genau diesen zwei Gleichungen.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Die Höhe h_c teilt die Grundseite c = 14 cm in die Stücke p und q. Es ist p = 9 cm. Wie lang ist q (in cm)?

✓ Antwort: 5
Der Fußpunkt liegt zwischen A und B, also p + q = c und q = 14 cm − 9 cm = 5 cm.