Projektion auf die Grundseite

Projection onto the Base Side

Mathematik Klasse 9

GeometrieTrigonometrieDreieckshöhe

Die Höhe zerschneidet die Grundseite in die Stücke p und q, und beide lassen sich als Projektion einer Seite ausdrücken: q = a · cos β, p = b · cos α, zusammen p + q = c. Das ist der letzte Baustein vor der Herleitung des Kosinussatzes, in die genau diese beiden Terme eingesetzt werden.

Die Höhe hat nebenbei noch etwas zerschnitten: die Grundseite c. Das Stück bei $A$ heißt p, das Stück bei $B$ heißt q. Genau diese beiden Stücke braucht der Kosinussatz im nächsten Schritt — und sie lassen sich als Projektionen der anderen beiden Seiten aus Seite und Winkel ausdrücken. Im rechten Teildreieck $B F C$ ist q die Ankathete zum Winkel β:

$cos β = \frac{q}{a} ⟺ q = a \cdot cos β$

Symmetrisch im linken Teildreieck $A F C$ ist p die Ankathete zum Winkel α:

$p = b \cdot cos α$

Beide Strecken zusammen ergeben die Grundseite: $p + q = c$ . Für unser Dreieck:

$q = 8, 1 \cdot cos 56° \approx 8, 1 \cdot 0, 559 \approx 4, 5$ $p = 7, 2 \cdot cos 70° \approx 7, 2 \cdot 0, 342 \approx 2, 5$ $p + q \approx 2, 5 + 4, 5 = 7, 0 = c ✓$

Lies

p

und

q

ab: Ergeben sie zusammen wieder

c

Voraussetzungen (1)

Zwei rechtwinklige Teildreiecke

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Ermöglicht (1)

Herleitung des Kosinussatzes

Klasse 9

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