Das Mengendiagramm

The Set Diagram

Mathematik Klasse 9 16 Aufgaben
WahrscheinlichkeitMengenVenn-Diagramm

Ein Mengendiagramm zeichnet zwei Ereignisse als sich ĂŒberlappende Kreise in einem Rechteck Ω und teilt die Klasse in vier Bereiche: nur A, beides, nur B, keines von beiden. Der Abschnitt rĂ€umt die hĂ€ufigste Verwechslung aus, die Zahl am Kreis fĂŒr die Zahl im Bereich zu halten: Die 18 Fußballer schließen die 5 ein, die auch Basketball spielen, „nur Fußball“ sind 13. Man ĂŒbt, Personen den vier Bereichen zuzuordnen, die Bereiche aus den Kreiszahlen zu bestimmen und den Rest außerhalb der Kreise aus der Gesamtzahl zu ergĂ€nzen. Das bereitet Schnitt, Vereinigung und die Vierfeldertafel vor.

Um zwei Ereignisse gleichzeitig darzustellen, zeichnen wir ein Mengendiagramm (auch Venn-Diagramm genannt). Jeder Kreis steht fĂŒr ein Ereignis:

  • Der linke Kreis umfasst alle, die Fußball spielen.
  • Der rechte Kreis umfasst alle, die Basketball spielen.
  • Das umgebende Rechteck ist die Ergebnismenge Ω — alle 30 SchĂŒlerinnen und SchĂŒler der Klasse.

Aus der Befragung wissen wir: 5 spielen beide Sportarten. Sie liegen genau dort, wo sich die Kreise ĂŒberlappen. Damit ergeben sich vier Bereiche:

  • 13 spielen nur Fußball (18 − 5)
  • 5 spielen beides
  • 7 spielen nur Basketball (12 − 5)
  • 5 spielen keines von beiden (außerhalb der Kreise): 30 − 13 − 5 − 7 = 5

Zusammen: 13 + 5 + 7 + 5 = 30. Alle sind erfasst, niemand wird doppelt gezÀhlt.

Achtung: Die Zahl 18 gehört zum ganzen Kreis „Fußball“ und schließt die 5 im Überlapp ein. Im Bereich „nur Fußball“ stehen deshalb nur 13.

Die Zahlen in jedem Bereich zeigen, wie viele SchĂŒler:innen dorthin gehören.

Ermöglicht (1)

Schnittmenge — A und B
Klasse 9
â€ș
Leicht
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Das Diagramm zeigt eine Klasse von 29 SchĂŒler:innen (K = spielt Klavier, G = spielt Gitarre). Wie viele spielen Gitarre, aber kein Klavier?

  • ○ 9
  • ● 5
  • ○ 13
Gitarre, aber kein Klavier liegt im Kreis G außerhalb des Überlapps: 5. Die 9 wĂ€re der ganze Kreis G (5 + 4), die 13 liegen außerhalb beider Kreise.
Wahr / Falsch #2 20s ▶ Testen

Im Diagramm (K: Klavier, G: Gitarre) zÀhlt die Zahl 4 die Personen, die nur Klavier spielen.

✓ Falsch
Die 4 steht im Überlapp: Diese Personen spielen Klavier und Gitarre. „Nur Klavier“ ist der Teil des Kreises K ohne Überlapp, dort steht die 7.
Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Lena spielt Gitarre, aber kein Klavier. In welchem Bereich des Diagramms steht sie?

  • ○ im Überlappungsbereich
  • ○ außerhalb beider Kreise
  • ● im Kreis G, aber nicht im Überlapp
Lena erfĂŒllt „Gitarre“, also liegt sie im Kreis G, und „kein Klavier“ schließt den Überlapp aus. Im Überlapp stĂŒnden Personen mit beiden Instrumenten, außerhalb beider Kreise Personen ohne Instrument.
Multiple Choice #4 30s ▶ Testen

In einer Klasse von 25 halten 9 Kinder Katzen, 3 von ihnen auch Hunde. Wie viele Kinder halten nur Katzen?

  • ● 6
  • ○ 9
  • ○ 12
Die 9 zĂ€hlt alle Katzenhalter, auch die 3 im Überlapp. Nur Katzen: 9 − 3 = 6. Die 12 entstĂŒnde, wenn man den Überlapp noch einmal dazuzĂ€hlt.
Wahr / Falsch #5 20s ▶ Testen

Ein Kreis umfasst insgesamt 24 Personen, 7 davon liegen im Überlappungsbereich. Im Teil dieses Kreises außerhalb des Überlapps stehen dann ebenfalls 24 Personen.

✓ Falsch
Die 24 zĂ€hlen den ganzen Kreis, also auch die 7 im Überlapp. Außerhalb des Überlapps bleiben 24 − 7 = 17.
Multiple Choice #6 30s ▶ Testen

Das Diagramm zeigt 40 Befragte. Welche Zahl gehört in den Bereich „nur Kino“?

  • ○ 22
  • ● 8
  • ○ 36
Kino hat insgesamt 22 Personen, 14 davon streamen auch. Nur Kino: 22 − 14 = 8. Die 22 wĂ€re der ganze Kreis, die 36 zĂ€hlt den Überlapp doppelt.
Multiple Choice #7 30s ▶ Testen

Das Diagramm zeigt 32 Personen. Wie viele liegen außerhalb beider Kreise?

  • ○ 25
  • ○ 32
  • ● 7
In den Kreisen liegen 9 + 5 + 11 = 25 Personen. Der Rest ist 32 − 25 = 7. Die 25 sind die Personen in den Kreisen, die 32 ist ganz Ω.
Wahr / Falsch #8 20s ▶ Testen

Die vier Bereiche des Diagramms (nur A, beides, nur B und außerhalb der Kreise) zusammen zĂ€hlen genau alle 32 Personen.

✓ Wahr
Jede Person liegt in genau einem der vier Bereiche, also ergeben die vier Zahlen zusammen die Gesamtzahl von Ω.
Multiple Choice #9 25s ▶ Testen

In einer Umfrage zu Fußball (F) und Basketball (B) spielt Jonas nur Tennis. In welchem Bereich des Diagramms steht er?

  • ● außerhalb beider Kreise
  • ○ im Überlappungsbereich
  • ○ im Kreis F, aber nicht im Überlapp
Jonas erfĂŒllt weder F noch B, also liegt er in keinem der beiden Kreise, aber im Rechteck Ω, denn er gehört zur Umfrage. Im Überlapp stĂŒnden Personen mit Fußball und Basketball.
Mittel
Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Lies aus dem Diagramm ab: Wie viele Personen gehen nur ins Kino (und streamen nicht)?

✓ Antwort: 8
Der Bereich „nur Kino“ ist der Teil des Kreises Kino außerhalb des Überlapps: 8.
Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Im Jahrgang lernen 46 SchĂŒler:innen Französisch, 18 von ihnen auch Latein. Wie viele lernen nur Französisch?

✓ Antwort: 28
Die 46 zĂ€hlen alle Französischlerner, auch die 18 im Überlapp: 46 − 18 = 28.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Von 40 Personen liegen in den drei Bereichen der Kreise 8, 14 und 12. Wie viele liegen außerhalb beider Kreise?

✓ Antwort: 6
8 + 14 + 12 = 34 liegen in den Kreisen, der Rest ist 40 − 34 = 6.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Wie viele SchĂŒler:innen spielen genau eines der beiden Instrumente, also nur Klavier oder nur Gitarre?

✓ Antwort: 12
Die beiden Bereiche „nur Klavier“ (7) und „nur Gitarre“ (5) zusammen: 7 + 5 = 12. Der Überlapp (4) spielt beide, nicht genau eines.
Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

14 SchĂŒler:innen spielen Fußball, 10 spielen Handball, 3 spielen beides. Wie viele spielen genau eine der beiden Sportarten?

✓ Antwort: 18
Nur Fußball: 14 − 3 = 11. Nur Handball: 10 − 3 = 7. Zusammen 11 + 7 = 18. Die beiden Kreiszahlen 14 und 10 enthalten die 3 im Überlapp jeweils mit.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

In einer Klasse mit 27 lesen 10 Kinder nur Comics, 6 lesen Comics und Romane, 8 lesen nur Romane. Wie viele lesen keines von beiden?

✓ Antwort: 3
In den Kreisen liegen 10 + 6 + 8 = 24 Kinder, außerhalb bleiben 27 − 24 = 3.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

In einer Umfrage unter 32 Personen haben 20 ein Smartphone, 11 ein Tablet und 7 beides. Zeichne ein Mengendiagramm mit Rechteck und zwei Kreisen, trage die vier Bereiche ein und begrĂŒnde, warum die Zahl 20 nicht in den Bereich „nur Smartphone“ gehört. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Rechteck Ω mit 32, zwei sich ĂŒberlappende Kreise. Nur Smartphone: 20 − 7 = 13; beides: 7; nur Tablet: 11 − 7 = 4; keines: 32 − (13 + 7 + 4) = 8. Die 20 zĂ€hlt den ganzen Smartphone-Kreis, also auch die 7 im Überlapp.
Der Kreis Smartphone enthĂ€lt 20 Personen, darunter die 7 im Überlapp. Die vier Bereiche 13, 7, 4, 8 ergeben zusammen 32.